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1、沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试高三(16届)数学理科试题说明:1.测试时间:120分钟 总分:150分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第卷 (60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足,则的虚部为( )A. B. C. 4 D. 2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 3. 已知向量,满足,在方向上的投影是,则( )A. B. 2 C. 0 D.4. 命题“若,则”的否命题为( ) A若,则且 B若,则或C若,则且 D若,则或 5. 已知,则下列不等式
2、一定成立的是( )A. B. C. D. 6. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( )A. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺7.已知是双曲线的一条渐近线,是上的一点,是的两个焦点,若,则到轴的距离为( )A. B. C. D. 8设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是( )A. 若,则 B. 若,则C. 若,则 D若,则9. 设函数的图像在点处切线的斜
3、率为,则函数的图像为A B C D10. 用随机模拟的方法估计圆周率的近似值的程序框图如右图所示,P表示输出的结果,则图中空白处应填( )A. B. C. D. (第10题图)11. 设集合,则使得的实数的取值范围是( )A. B. C. D. 12定义在上的函数,是它的导函数,恒有成立,则( )A BC D第卷 (90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上13. 已知的展开式中所有项的系数和为,则 .14. 正方体的棱长为,、分别是棱和的中点,则点到平面的距离为 .15 以下命题正确的是 函数的图象向右平移个单位,可得到的图象; 函数的最小值为;某校开设A
4、类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有30种; 在某项测量中,测量结果服从正态分布N(2,)()若在内取值的概率为0.1,则在(2,3)内取值的概率为0.416. 已知数列的前项和为且成等比数列,成等差数列,则等于 .三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分) 设的内角所对的边分别为,已知,.()求角; ()若,求的面积.18. (本小题满分12分) 根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位(单位:米)的频率分布直方图如下:将河流水位在以上段的频率作为相应段的概率
5、,并假设每年河流水位互不影响.()求未来三年,至多有年河流水位的概率(结果用分数表示);()该河流对沿河企业影响如下:当时,不会造成影响;当时,损失元;当时,损失元,为减少损失,现有三种应对方案: 方案一:防御米的最高水位,需要工程费用元; 方案二:防御不超过米的水位,需要工程费用元; 方案三:不采取措施;试比较哪种方案较好,并说理由.19. (本小题满分12分) 已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点 ()是否不论点E在何位置,都有BDAE?证明你的结论;()若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小.20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为,若与圆E:相交于M
6、,N两点,且圆E在内的弧长为.(I)求的值;(II)过的中心作两条直线AC,BD交于A,C和B,D四点,设直线AC的斜率为,BD的斜率为,且.(1)求直线的斜率;(2)求四边形ABCD面积的取值范围.21.(本小题满分12分)定义在R上的函数满足,为常数,函数,若函数在处的切线与y轴垂直.(I)求函数的解析式; (II)求函数的单调区间;(III)若满足恒成立,则称s比t更靠近r.在函数有极值的前提下,当时,比更靠近,试求b的取值范围.请考生在22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分22(选修41;几何证明选讲 本小题满分10分) 如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C
7、两点,且,作直线AF与圆E相切于点F,连结EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,()求AF的长; ()求证:23(选修4-4;坐标系与参数方程选讲 本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为()()写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;()若直线与曲线相交于两点,求的值.24(选修45;不等式选讲 本小题满分10分)设函数()解不等式:; ()若对一切实数均成立,求的取值范围沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试高三(16届)数学理科试题参考答案(1)(5)DBBDD (6)(10)
8、BCCBA (11)(12)BB(13) (14) (15) (16)-1009(17)解:() 2分 5分, 6分()由,得 7分由得,从而, 9分故 10分所以的面积为. 12分(18)(19) 解:() 不论点E在何位置,都有BDAE. 证明如下:由三视图可知,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC2. 1分连结AC,ABCD是正方形,BDAC. 2分PC底面ABCD,且BD平面ABCD,BDPC. 3分又ACPCC,BD平面PAC. 4分不论点E在何位置,都有AE平面PAC.不论点E在何位置,都有BDAE. 5分() 解法1:在平面DAE内过点D作DFA
9、E于F,连结BF. 6分ADAB1,DEBE,AEAE,RtADERtABE,从而ADFABF,BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角 9分RtADE中,DF, BF.BD,DFB中余弦定理得cosDFB,DFB,即二面角DAEB的大小为. 12分解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 6分 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而(0,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1) 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为,由,取由,取10分设二面角DAEB的平面角为,则,11分,即二面角DAEB的大小为 12分 (20),且,所以 12分 (22)解:()延长交圆于点,连接,则,所以,根据切割线定理得:,所以.5分()过作于,则 ,从而有, ,所以,因此,即. 10分(23)解:()由得,直线是过原点且倾斜角为的直线.故直线的极坐标方程为 3分由得5分24 解:()当时,得,所以成立. 当时,,得,所以成立. 当时, ,得,所以成立. 综上,原不等式的解集为5分() 当 所以 10分