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1、反比例函数的综合题与探究1（2010泉州市）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ; （2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.解：（1）平行四边形（2）点在的图象上， 过作，则在中， =30又点B、
2、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称 OB=OD=四边形为矩形，且； 能使四边形为矩形的点B共有2个；（3）四边形不能是菱形.法一：点、坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直. 四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，A（-m，0）、C（m，0）点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. BD应在y轴上，与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，四边形ABCD不可能为菱形. 2.(2008湖州市) 已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面
3、直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（1） 证明：设，（2） 与的面积分别为，由题意得，即与的面积相等（2）由题意知：两点坐标分别为，当时，（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为由题意得：，又，解得存在符合条件的点，它的坐标为3.（2009孝感市）如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0k
4、2|k1|）于E、F两点（1） 图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；（2） 图2中，设P点坐标为（4，3）判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由解：（1）； （2）EFAB 证明：如图，由题意可得A（4，0），B（0，3）， PA=3，PE=，PB=4，PF=， 又APB=EPFAPB EPF，PAB=PEFEFAB S2没有最小值，理由如下：过E作EMy轴于点M，过F作FNx轴于点N，两线交于点Q由上知M（0，），N（，0），Q（，） 而SEFQ= SPEF，S2SPEFSOEFSEFQSOEFSE
5、OMSFONS矩形OMQN= 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0k212 0S224，s2没有最小值 说明：1证明ABEF时，还可利用以下三种方法方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明ABEF；方法二：利用来证明ABEF；方法三：连接AF、BE，利用SAEFSBFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到ABEF2求S2的值时，还可进行如下变形：S2 SPEFSOEFSPEF（S四边形PEOFSPEF）2 SPEFS四边形PEOF，再用（1）题中的结论4.(2009杭州市)已知平行于x轴的直线与函数和函
6、数的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）。（1）若，且tanPOB=，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；(3)若经过A，B，P三点的抛物线，平移后得到的图象，求点P到直线AB的距离。5.如图，直线y=x+6与反比例函数y=等(x0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)两点.（1）求、的值；(2)直接写出x +6一 0时的取值范围；(3)等腰梯形OBCD中，BCOD,OB=CD，OD边在x轴上，过C作CEOD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l
7、2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.（1）由题意知 k2 = 16 = 6 反比例函数的解析式为 y = . 又B（a，3）在y = 的图象上，a = 2 B（2,3）. 直线y = k1x + b 过A（1,6），B（2,3）两点， （2）x 的取值范围为1 x 2. （3）当S梯形OBCD = 12时，PC= PE 设点P的坐标为（m，n），BCOD，CEOD，BO = CD，B（2,3）. C（m，3），CE = 3，BC = m 2，OD = m +2. 当S梯形OBCD = ,即12 = m = 4 .又mn = 6 ，n = .即PE = CE.PC = PE. 6.（2
8、009年威海市）一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：；OCFMDENKyx（图1）OCDKFENyxM（图2）OCFMDENKyx图1（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论解：（1）轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形为矩形轴，轴，四边形均为矩形， ，由（1）知，OCDKFENyxM图2轴，四边形是平行四边形同理（2） 与仍然相等，又，轴四边形是平行四边形同理MNDCyOxEFHGK7（2009长宁）
9、如图，一次函数图像交反比例函数图像于点M、N（N在M右侧），分别交x轴、y轴于点C、D。过点M、N作ME、NF分别垂直x轴，垂足为E、F。再过点E、F作EG、FH平行MN直线，分别交y轴于点G、H，ME交FH于点K。 （1）如果线段OE、OF的长是方程a2- 4a+3=0的两个根，求该一次函数的解析式；（2）设点M、N的横坐标分别为m、n，试探索四边形MNFK面积与四边形HKEG面积两者的数量关系；（3）求证：MD =CN。（1）解得a1=1，a2=3， 1 OE=1，OF=3 得M（1，6），N（3，2） 得直线MN解析式 （2）说明DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形 , SDMEG=MEOE=6 . SDNFH= NFOF=6 . SMNFK=SHKEG . （3）几何法：OE=m，OF=n，EF=n-m， ME=，NF=，.设FC=a，CNFCME ，即，得a=m. 再证EGOCNF，EG=MD，得MD =CN . （代数法：设直线MN为y=kx+b，用两点间距离公式求MD =CN）或代数法：设直线MN为y=kx+b， 得 .得D（0，） C（m+n，0）. DM=，CN= DM=CN
