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1、单位根检验1典型随机过程简述。在介绍单位根检验之前，先认识一下各种随机过程的表现形式。（1）白噪声过程（white noise，如图1）。属于平稳过程。yt = ut, ut IID(0, s2)图3是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。（2）随机游走过程（random walk，如图2）。属于非平稳过程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, s2)图4是日元兑美元序列，近似于随机游走序列。随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。Dyt = ut。 图1 白噪声序列（s2=1） 图2 随机游走序列（s2=1） 图3 日元兑美元差分序列 图4深圳股票综合指数 图5
2、 随机趋势非平稳序列（m = 0.1） 图6 随机趋势非平稳序列（m = -0.1）（3）随机趋势非平稳过程（stochastic trend process）或差分平稳过程（difference- stationary process）、有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift）。见图5和6。属于非平稳过程。yt = m + yt-1 + ut , ut IID(0, s2)迭代变换，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势mt和一个随机游走
3、组合而成，所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导，表现出很强的趋势性。yt围绕着mt变化，但不会回到mt。趋势的方向完全由m的符号决定。m为正时，趋势向上（见图5）；m为负时，趋势向下（见图6）。对yt做一阶差分，Dyt = m + ut，为平稳过程。差分平稳过程由此得名。E(Dyt) = m。当yt表示对数变量时，E(Dyt)表示平均增长率。随机趋势非平稳过程的差分过程是平稳过程。Dyt = m + ut 。 图7 退势平稳序列（m =0, a=0.1） 图8 确定性趋势非平稳序列（m =0.1, a=0.1）（4）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过
4、程（见图7）。属于非平稳过程。 yt = m + a t + ut, ut IID(0, s2)因为该过程是由确定性趋势m + a t和平稳随机过程ut组成，所以称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项at之后，过程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程。Dyt = a + ut - ut-1 。所以应该用退势的方法获得平稳过程。yt - a t = m + ut。（5）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）（如图8）。属于非平稳过程。 yt =
5、 m + a t + yt-1+ ut, ut IID(0, s2)确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后，过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。 确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，Dyt = m + a t + ut。确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt - a t = m + yt-1+ ut。只有既差分又退势才能得到平稳过程，Dyt - a t = m + ut。图9 对数的中国国民收入序列 图10 中国人口序列图9是对数的中国国民收入序
6、列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列。图10是中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列。对于单位根过程（差分平稳），每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。大量的实证研究显示，不变价格的宏观经济序列为退势平稳过程的可能性远大于名义价格的宏观经济序列。中国的GDP、固定资产投资和居民消费等序列均为退势平稳序列。这意味着，改革开放以来，中国的经济增长虽然因为受到各种冲击因素的影响而出现不
7、同程度的偏离趋势的上下波动，但这种偏离是暂时的，从较长时期来看，经济增长总体上沿着确定的均衡增长路径平稳运行。而随机趋势过程虽然也有长期引力线，但其数据生成过程含有单位根，随机冲击对它具有持续的长期影响。只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。例：给出对数的中国GDP序列如下。无论采取线性退势，还是2次退势，所得序列都是平稳序列。 线性趋势 2次趋势 ADF= -3.05 ADF(0.05) = -1.95 ADF= -4.36 ADF(0.05) = -1.952单位根检验步骤。单位根检验做得不好常常会把退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程（隐性趋势）和确定性趋势非平稳（显性趋势）过程。
8、检验时间序列中是否含有单位根时常会碰到如下几种问题：（1）当被检验过程（d.g.p.）的形式未知时，应该考虑到其中是否含有随机的或确定性的时间趋势成分。（2）被检验过程（d.g.p.）的形式通常要比AR(1) 形式复杂，可能是高阶自回归过程或含有移动平均成分。（3）当被检验随机过程接近含有单位根但实为平稳过程（特征根小于1，但接近1）时，在有限样本、特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，误判为单位根过程，即检验功效降低。（4）应该注意的是当被检验过程中含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受零假设（非平稳过程）。（5）对于季节随机过程除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根
9、。 检验单位根通常有3种方法。（1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）、（2）CRDW（cointegration regression DW）检验法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP（或Z）检验法（Phillips,1987）。最常用的是DF（和ADF）检验法。DF检验式的一种形式是 yt=byt-1+ut, utIID(0,s2) (1.a)H0：b =1，H1：b 1。检验统计量DF =或 D yt = r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (1.b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r 0。检验统计量DF =
10、。其中和分别表示b 和r 的OLS估计量。检验式(1.b)更常用。尽管DF计算公式与t统计量相同，但在H0：r = 0成立（yt非平稳）条件下，DF不服从t分布，而服从DF分布。以b = 1的（1）式为数据生成系统（d.g.p.），DF分布百分位数用蒙特卡罗模拟的方法得到（见表1第1部分）。检验用临界值从中查取（摘自Fuller（1976）。用（1）式检验单位根等价于先验认定被检验过程yt是一个零均值、无趋势项的AR(1)过程。因为只有当一个含有单位根的随机过程中不含有确定性变量，那么该过程的均值完全由初始值决定，所以y0 = 0。可见，只有在一个过程的均值为零时，使用（1）式检验单位根才是正
11、确的。换句话说，如果被检验的过程的均值非零，就应该首先减去这个均值，然后再用（1）式检验单位根。但实际中，被检验过程的均值一般是不知道的。所以，当不知被检验过程的均值是否为零，或不知其初始值y0是否为零时，应该用下式检验单位根。 yt = m + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2.a)H0：b =1，H1：b 1。检验统计量DF =或 D yt = m +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r 0。检验统计量DF =。其中和分别表示b 和r 的OLS估计量。DF检验临界值应从表1第2部分查找。
12、条件是数据由b =1的（1）式生成，而DF检验式是（2）式。注意，估计（2）式得到的 和DF的分布都不受y0取值的影响。这一点太重要了。否则必须先知道y0的值和DF分布才能进行单位根检验。 表1 DF分布百分位数表DF检验式 T a 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25- 2.66- 2.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 (a) 100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03检验式 (1)
13、250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 - 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.000.340.72 50- 3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 (b) 100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63检验式 (2) 250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 - 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.80- 0.50- 0.15 50- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 (c) 100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28检验式 (3) 250- 3.99-
