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1、 平面向量11. 数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：；向量的大小长度称为向量的模，记作|。3. 有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4. 零向量、单位向量概念： 长度为0的向量叫零向量，记作。 长度为1个单位长度的向量
2、，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：向量与相等，记作=； 零向量与零向量相等； 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6. 平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行。说明：综合才是平行向量的完整定义； 向量平行，记作。四边形法则三角形法则二、 向量的运算法则 1.向量的加法某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：；向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。三角形法则：四边形法则：练习：化简（1） （2） （3）2.向量的减法
3、相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 ； 任一向量与其相反向量的和是零向量，即：； 如果是互为相反的向量，则：。向量的减法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。 注意：起点相同；指向被减向量的终点。练习：（1） （2） （3） （4）例1.平行四边形ABCD中，用、表示向量。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、，试用向量、表示。3. 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：；当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方
4、向相反；特别的，当=0或=时，=。注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法，即+，-是无意义的。 实数与向量的积的运算律：设、为任意向量，为任意实数，则有： ； 例1.计算； ； 例2.计算 (1). (2).结论：向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数，是的=。例3.向量是否共线？例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且,你能用表示吗？二、 向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数，恒有。1. 有关向量共线问题例1.已知向量满足，求证：向量共线。例2.已知,试判断是否共线？定理的应用： (1).有关向量共线问题； (2).证明三点共线：三
5、点共线； (3).证明两直线平行问题。 例3.已知任意两个非零向量，试作，你能判断三点间的位置关系吗？为什么？ 例4 .在四边形中，求证：四边形为梯形。1高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)姓名_班级_学号_一.选择题(每题5分)1.设是的相反向量,则下列说法错误的是( )A.与的长度必相等 B.C.与一定不相等 D.是的相反向量2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、,则向量等于( )A. B. C. D.3.(如图)在平行四边形中,下列正确的是( ).A. B.C. D.BDCA4.等于( )A. B. C. D.5.化简的结果等于(
6、 )A、 B、 C、 D、6.(如图)在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )A B C D 7.下列等式中,正确的个数是( )A.5 B.4 C.3 D.28.在ABC中,如果,那么ABC一定是( ).A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.在中,则等于( )A. B. C. D.10.已知、是不共线的向量,(、),当且仅当( )时,、三点共线.二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是_12.的两条对角线相交于点,且,则_,_,_,_.13.已知向量和不共线,实数,满足,则_14.化简:_;
7、_;_15.化简下列各式:(1)_;(2)_.16.在中,则_,_.17.在四边形ABCD中有,则它的形状一定是_18.已知四边形中,且则四边形的形状是_.19.化简:_.20.在ABC中,设,则=_三.解答题(每题10分)21.某人从点出发向西走了10m,到达点,然后改变方向按西偏北走了15m到达点,最后又向东走了10米到达点.(1)作出向量,(用1cm长线段代表10m长);(2)求1 122.如图,在梯形中,对角线和交于点,、分别是和的中点,分别写出(1)图中与、共线的向量;(2)与相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1),的方向与轴正方向的夹角为,与轴正方向的夹角为;(2)
8、,的方向与轴正方向的夹角为,与轴正方向的夹角为;(3),的方向与轴正方向的夹角为,与轴正方向的夹角为.24.在所在平面上有一点,使得,试判断点的位置.25.如图所示,在平行四边形中,点是边中点,点在上且,求证:、三点共线.3 3参考答案一.选择题(每题5分)1.C2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.A9.B10.D二.填空题(每题5分)11.圆12.,13.114.;15.(1) (2)16.,17.平行四边形18.等腰梯形19.20.三.解答题(每题10分)21.【解答】(1)如图,(2),故四边形为平行四边形,22.【解答】与共线的向量有、;与共线的向量有,;与相等的向量是23.【解答】24.【解答】,故、三点共线,且是线段的三分点中靠近的那一个25.【解答】提示:可以证明或证明.
