安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文关于凸函数的研究作者： 指导老师：摘要 本文从凸函数的多种定义入手,介绍了凹凸函数的性质及判定定理.在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的定义，判定方法及其应用.然后将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出元凹凸函数的定义及判定方法.本文主要讨论了一元、二元、多元凹凸函数的定义、性质及判定方法，并介绍了它们在不等式中的应用.关键词 凸函数 不等式 多元函数1引言凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究.对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处.特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用.凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用.因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要.同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及.所以，总结一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的.2 凸函数的概念及其等价定义2.1 凸函数的概念定义2.1设为定义在区间上的函数，若对,, (0,1)，有 （2.1.1）则称为上的凸函数.反之，如果总有 （2.1.2）则称为上的凹函数.若式（2.1.1），（2.1.2）中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.2.2 凸函数的等价定义凸函数除了上述定义之外还有多种不同定义形式，这些定义之间是相互等价的.常见的凸函数定义还有：定义2.2 设为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对任意两点,,有.定义2.3 设为定义在区间上的函数，那么为上的凸函数当且仅当对，有.3 凸函数的性质在熟知了凸函数的定义之后，这一节主要讨论凸函数的一些常用简单性质.性质3.1 设在区间上为凸函数，对任意，则时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数.证明 由于为上的凸函数，则对有 .从而 当时.即 在区间上为凸函数.同理，可证当时，在区间上为凹函数. 证毕. 性质3.2 设均为区间上的凸函数，则其和也是上的凸函数.证明 记，,由于均为凸函数，故有 故 为上的凸函数，即也是上的凸函数. 证毕. 由性质3.1和性质3.2可得到下面的推论.推论3.1设是区间上的凸函数，则线性组合的函数为上的凸函数，为上的凹函数.性质3.3 若为区上的凸函数，为上凸增函数，则为上凸函数.证明 对由于为上的凸函数，故.又由 .得 .故当为上的凸增函数时有 由此知为上的凸函数. 证毕.性质3.4 若设是间上的凸函数，则也为上的凸函数.证明 令，由凸函数定义，设有 从而 因此为上凸函数. 证毕.性质3.5设为区间上的凹函数，，则为区间上的凸函数，反之不成立.证明 因为且为凹函数,故对有 .所以 .由于.从而 .即 为区间上的凸函数. 证毕.4 凸函数的判定定理利用凸函数的定义判断函数在区间上是否为凸函数往往并不方便.因此，下面给出一些凸函数的判定定理.引理 若 在区间上成为凸函数，则对上任意三点,有.推论 4.1 若在区间上为凸函数，则对上任意四点，有.推论4.2 若在区间上的凸函数，则过的弦的斜率 是的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论4.3 设函数在区间内为凸函数,则在任意一闭子区间上满足条件:即＞,对有.证明 因则＞,使得,,若＜,取,在区间内为凸函数,由引理知.其中分别为在上的上下界,从而.若＞,取,因在区间内为凸函数,由引理知.即.因此.取,则有 . 证毕.推论 4.4 若函数在区间内是凸函数,那么在内处处左右可导,同时满足对任意的有 .证明 若函数在区间内是凸函数,则对由推论4.2知在内为递增函数,且当时.所以存在.再因.所以由单调有界定理可知存在且 .同样也可证时有.所以存在.由,的任意性知在内处处可导.再因,若,且,取且,,那么 .即.令则 .同理可证 .所以 . 证毕.例4.1 为区间上的凸函数，试证对任意,对任意有.证明 已知为区间上的凸函数，则由推论4.2与推论4.4可知对任，存在，且单调增加.故对当时有.同理，当时，当时有，因为 ,故对 .对总有 . 证毕.定理4.1 设在区间上可导，则下述论断相互等价：①为上凸函数；②为上增函数；③对上任意两点有 由③我们不难发现曲线总是在它任一切线的上方，这是可导凸函数具有的几何特征.定理4.2（凸函数与二阶导数的关系）设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是 例4.2 试确定函数的凸性区间.解 由于，当时，；当时，;故在区间上为凹函数，在区间上为凸函数.5 关于凸函数的几个重要不等式5.1 不等式定理5.1.1（不等式的一般形式）若为上的凸函数，则 , ，有.特别地，当时，有.此定理的证明见参考文献[1].推论5.1.1（不等式的总和形式）设在区间上是凸函数,则对于任意的和， 都有.推论5.1.2（不等式的积分形式）若是上的连续凸函数，而与是上的连续函数，，则.5.2 不等式定理5.2.1（不等式）设是上的连续凸函数,则.证明 由于是上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知.两边积分可得.因而 （5.2.1）又.若令，得.所以，又是上的连续凸函数，即.故 .即 （5.2.2）由（5.2.1），（5.2.2）两式可得. 证毕.5.3 不等式定理5.3.1(不等式) 设,(),,.则.证明 设,,则,即是上的严格凸函数.对于,由不等式得.取,代入上式得.即.由在上单调递增,得.记带入上式得().对上式两边求和,则.即 . 证毕.6 凸函数的应用在许多证明中，我们常常遇到一些不等式证明，其中有的不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个应用领域,用凸函数证明不等式关键在于构造合适的凸函数.例6.1证明不等式.证明 设，因为，所以是严格凸函数.由凸函数的定义可知 .即 . 证毕.例 6.2证明不等式,其中均为正数.证明 设,由.可见在时为严格凸函数.由不等式有 .从而 .即 .又因 .所以 . 证毕.例 6.3 证明当,,都为正数且互不相等时,有.证明 设(＞),则＞,所以在上是严格凸函数.对且时,由不等式有.即.所以.例6.4设均为正数，且．求证：．证明 考虑函数因为，所以是凸函数，令，由下凸函数的性质，则有 (6.1).由柯西不等式 .得.于是有，并代入（6.1）式即得. 证毕.例6.5若，则．证明 令 ，，．由于则为上的严格凸函数，所以由不等式有.即.由得.上式等号仅在成立. 证毕.例6.6在中，求证．证明 考虑函数，因为，所以在内是凹函数，由凹函数的性质有.由于．故 . 证毕.7多元凸函数前面讨论的都是一元函数的凸函数，然而我们在解决函数问题时，经常会遇到二元乃至多元函数的凹凸性.7.1二元凸函数的定义定义5.1.1 设是定义在区域上的二元函数，且满足对，且，有（或）.则称在上为凸（凹）函数.7.2二元凸函数的判定定理 定理7.2.1设在区域上具有二阶连续偏导数,记，则 （1）在上恒有，且时，在区域上是凸函数；（2）在上恒有, 且时，在区域上是凹函数.注 如果仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域上恒有时，则无法判断在区域上的凹凸性.例7.2.1 证明二元函数为上的凸函数.证明 易知具有二阶连续偏导数，，；由于且,故为上的凸函数. 证毕.推论7.2.1 设在区域上具有二阶连续偏导数，为黑塞矩阵，若半正定，则在区域上是凸函数；若半负定，在区域上是凹函数.此推论的证明由定理7.2.1直接得出.例7.2.2 试证明二次函数是上的凸函数 证明 易知在上具有二阶连续偏导数由于 .故 .又为正定矩阵，从而为上的凸函数. 证毕.7.3 元凸函数的定义及其判定定理 在定义元凸函数之前，我们先给出凸集的概念.定义7.3.1 设集合，若对于两点，及实数，都有，则称集合为凸集.定义7.3.2 设是定义在上的一个元函数，其定义域为一。