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1、2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1（题1）设集合，则下列关系中正确的是（ ）ABCD【解析】 D；，故，因此2（题2）设平面向量，若，则等于（ ）ABCD【解析】 A；，则，从而3（题3）若复数满足，则对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】 B；4（题4）设函数，则其零点所在的区间为（ ）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D
2、（3，4）【解析】 B；在上单调增，故零点所在区间5（题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）ABCD【解析】 B；由，可得，6（题6）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，是两曲线的一个公共点，则等于（ ）ABCD【解析】 C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得7（题7）某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）A110BC90D80【解析】 B；设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得8（题8
3、）设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（ ）ABCD【解析】 D；由题设，于是定积分第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9（题9）把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是 【解析】 ；10（题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 【解析】 6；几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为11（题11）若是上三点，切于点，则的大小为 解析：如图，弦切角，于是，从而12（题1
4、2）若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为 【解析】 ；曲线：，点到的距离为，因此；，即13（题13）若为的三个内角，则的最小值为 【解析】 ；，且，因此，当且仅当，即时等号成立14（题14）有下列命题：若存在导函数，则；若函数，则；若函数，则；若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件其中真命题的序号是 【解析】 ；，错误；，则，错；，正确；，只需即可，是的充分不必要条件3三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（题15）已知函数求函数的最小正周
5、期及图象的对称轴方程；设函数，求的值域【解析】 ，最小正周期由，得函数图象的对称轴方程为当时，取得最小值；当时，取得最大值2，所以的值域为16（题16）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点，为中点求证：；求二面角的余弦值；若四棱锥的体积为，求的长【解析】 平面，平面平面又是中点，平面建立直角坐标系，设则由知，平面，是平面的法向量设平面的法向量为，则且，二面角的余弦值为连结，设，是直角三角形，17（题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天
6、出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示统计信息汽车行驶路不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路214记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】 汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为万元 设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为万元选择公路2
7、可能获利更多18（题18）已知函数若为的极值点，求的值；若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；求函数的单调区间【解析】 是极值点，即或2 在上在上，又，解得由可知和是的极值点在区间上的最大值为8令，得当时，此时在单调递减当时： 0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增19（题19）已知椭圆的离心率为若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点 i)当，求的值； ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式【解析】 ，解得椭圆的方程为 i)，椭圆的方程可化为 易知右焦点，据题意有： 由，有： 设， ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设，又点在椭圆上， 由有：则 又在椭圆上，故有 将，代入可得：20（题20）已知数列满足，点在直线上求数列的通项公式；若数列满足，求的值；对于中的数列，求证：【解析】 点在直线上，是以为首项，为公比的等比数列， 且，且；当时， 由知时， ，即
