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1、初三数学知识点总结一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a,b,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；
2、x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质:左加右减。4. y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x
3、的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ;y=ax2向上（k0）【或向下（k
4、0）或左（h0）【或左（h0）【或下（k0）【或左（h0）【或下（k0）】平移|k|个单位y=a (x-h)2+k保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:2 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位，yax2 bx c变成yax2bxc m （或y ax2 bx cm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，yax2 bx c变成ya（xm）2b（x m） c （或 y a（x m）2b（x m） c）四、二次函数y a x h
5、 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前,2 , 2, 2b 4ac bb , 4ac b着，即 y a x -,其中 h 一, k .2a 4a2a 4a五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a（x h）2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、与x轴的交点x1, 0 , x2, 0 （若与x轴
6、没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为乙顶点坐标为P , 022a2a 4ax 2时，y随x的增大而减小；当2a-b时，y随x的增大而增大；当 2a2a时，y有最小值 4ac b24a2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为 2a2b 4ac b52a 4aR时，y随2abx的增大而增大；当 x 一时，y随x的增大而减小；当x 2a2时，y有最大值2a4ac b24a七、二次函数解析式的表示方法1.2.3.一般式:顶点式:两根式:
7、2 axa(xa(xbx c ( a , b , c为常数，a 0);h)2 k ( a, h , k 为常数，a 0)；x1)(x x2)(a 0,x1, x是抛物线与x轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 . 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；
8、当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时， 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是 y轴;2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线对称轴在 y轴的左
9、侧.2a总结起来，在a确定的前提下,ab的符号的判定：对称轴b决定了抛物线对称轴的位置.b 在y轴左边则ab 0,2a在y轴的右侧则ab 0,概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c当c当c当c 总结起来,0时,0时,0时,抛物线与抛物线与抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与c决定了抛物线与 y轴交点的位置.y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0； y轴交点的纵坐标为负.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法
10、求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称22y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是2 .关于y轴对称22y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式
11、是y ax bx c ；2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是3 .关于原点对称22y ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4 .关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）22b2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx c ;2a2y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是5 .关于点m, n对称22y a x h k关于点m, n对称后，得到白解析式是 y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求
12、抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数yx轴交点情况）：ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况图象与x轴的交点个数:2b 4ac 0时，图象与x轴父于两点 A xi , 0 , B x2, 0 (x1x2）,其中的xi , x2是一元二次方程ax2bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离xi,b2
13、 4aca当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .(0, c)；2 .抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中 a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x轴有 两个交点二次二项式的值可止、 可零、可负一兀二次方程有两个/、相等实根0抛物线与 x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交占 八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.二次函数图像参考:
