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1、渡轮航行路线的设计摘 要我国是世界上的一个多河流国家，为了方便河流两岸人民的出行，渡轮成了交通的一个重要组成部分。本文以我国东部地区某市为例，采用数学分析方法建立了一系列数学模型来规划和设计渡轮的航行路线。对于问题一，考虑河水流速以及渡轮在静水中的速度在整个航行过程中保持不变，本文以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为轴、以河流的水流方向为轴建立恰当的直角坐标系，对渡轮航行的路线关于时间建立多元微分方程组，再运用三角函数的几何意义对方程组进行化简，得出了初步的微分方程组模型，并由此建立了模型一。使用MATLAB编程求解，在得不出解析解的情况下采用4阶Runge-Kutta算法求解微分方程组的数值
2、解。得出了渡轮的航行路线图（下见图4），以及在轴方向、轴方向上的分位移关于时间的响应曲线（下见图5）。并分析数据后求得在该航行路线下所花费的时间，合11分钟6.7秒。对于问题二，本文在问题一的基础上适当地改变坐标轴，以及各个码头的坐标；以北岸码头2为原点，以北岸码头2与南岸码头2的连线为轴，以沿北岸码头1向北岸码头2方向的射线为轴，建立平面直角坐标系，实则是在模型一的基础上修改微分方程组的初值，化简后得到新的微分方程组模型，并由此建立了模型二。相同地，使用MATLAB编程，在得不出解析解的情况下采用4阶Runge-Kutta算法求其的数值解。得出了渡轮的航行路线图（下见图6），以及在轴方向、轴
3、方向上的分位移关于时间的响应曲线（下见图7）。分析数据后可知在该路线下所花时间为578.6s，合10分钟38.6秒。对于问题三，本文在问题一和问题二的分析基础上，根据实际生活中河水流速不均匀分布的条件限制，先使用MATLAB拟合出河水流速关于距北岸距离的曲线方程：。并由此修正模型一和模型二的微分方程组，得出模型三。同时修改微分方程组，并用MATLAB求数值解。根据求解结果，本文设计渡轮在该情形下的航行路线图（下见图10，图12）。并得出时间分别为735.5s和608s。 关键词： MATLAB 微分方程组 Runge-Kutta算法 数据拟合 小船过河1一、问题重述某市有一条东西向的河流穿越市
4、区，为方便两岸市民出行，设置了渡轮往返于南北岸间。如图1所示，南岸码头正对着北岸码头，河床宽度大约为米。请你们通过建立数学模型，解决以下问题：1、假定河水流速，渡轮在静水中的速度，在整个航行过程中它们保持不变，试设计一条渡轮航行路线，使得按照这条路线行驶从南岸码头出发正好能够到达北岸码头（或者从北岸码头出发正好能够到达南岸码头）。当，时，画出航行路线图，并计算出按照这条路线行驶所需的渡河时间。2、为缩短乘客航行时间，决定增设南岸码头和北岸码头各一个，如图2所示。从北岸到南岸的乘客在北岸码头1登船，到南岸码头2下船；而从南岸到北岸的乘客在南岸码头1登船，到北岸码头2下船。如果同一岸的两个码头间距
5、设计为500米，当，时，画出航行路线图，并计算出按照这条路线行驶所需的渡河时间，与问题1进行比较。3、下表1中是测出的水流速沿离北岸边距离的分布，在的情况下，重新解决问题1和问题2。北岸码头2南岸码头21000m水流方向北岸码头1南岸码头11000m水流方向北岸码头南岸码头 图1 图2 表1 水流速沿离北岸边距离的分布编号123456789离北岸边距离（米）100200300400500600700800900河水流速（米/秒）1.001.221.381.451.501.461.371.231.02二、问题分析根据问题重述，可知这实质上是求曲线轨迹的微分方程问题。问题一对于问题一，为了方便我们
6、更加清晰的剖析问题以及解决问题，我们对问题重述的图一做了适当旋转，以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为轴、以河流的水流方向为轴建立恰当的直角坐标系。由于船速与水速都是固定值，决定渡轮运动轨迹的只有船头指向。根据生活实际，我们做出合理假设：渡轮在任意时刻的船头始终指向北岸码头。由此得出渡轮运动时任一点的坐标，与其行驶方向同轴的夹角的三角函数关系。然后通过对渡轮行驶途中的任意一时刻做运动分析，我们很容易就能得到一组任一点的分速度对时间的微分方程组。运用MATLAB编程，便可得到渡轮运行的轨迹方程，并求出行驶时间。问题二对于问题二，我们在问题一的基础上做适当的修改，以北岸码头2为原点，以北岸码头2与
7、南岸码头2的连线为轴，以沿北岸码头1向北岸码头2方向的射线为轴，重新建立平面直角坐标系。然后做和问题一相同的处理：即根据渡轮运动时任一点的坐标，与其行驶方向同轴的夹角的三角函数关系，以及任意一点分速度关于时间的微分，得出新的微分方程组。相同地，使用MATLAB编程，便可得出渡轮的部分航行路线图，并得出航行时间。问题三对于问题三，考虑到实际生活中河水的流速并不是均匀分布的，我们可以先通过问题重述中给出的水流速度的测量数据做二次拟合，得到水速分布的曲线方程。再将得到的曲线方程看做一个整体分别替代问题一，问题二中的水速。然后用前面所述方法列出微分方程。并运用MATLAB编程，并求解分析。便可得出渡轮
8、行驶的路线以及所花费的时间。三、模型假设（1） 假设不计渡轮本身长度；（2） 假设渡轮速度恒为；（3） 假设不计算渡轮启动终止时间；（4） 假设渡轮航行过程中畅通无阻；（5） 假设河水流速数据符合某拟合函数；（6） 假设渡轮、河水流速不受风等天气因素影响； 四、符号说明符号含义南岸码头（1）北岸码头（1）南岸码头2北岸码头2南北岸的河床宽度同一侧的两个码头的距离X轴方向渡轮在方向上的位移渡轮在方向上的速度Y轴方向渡轮在方向上的位移渡轮在方向上的速度河水流速河水流速关于方向上位移函数渡轮在静水中的速度渡轮行驶时的合速度渡轮行驶的某个时刻渡轮在同一侧的两个码头间逆行所用时间渡轮航行所用的总时间渡轮
9、船头朝向与轴夹角五、模型的建立和求解5.1问题一模型的建立和求解5.1.1模型一的建立以北岸码头为原点，以沿北岸码头指向南岸码头的射线为轴，沿北岸码头向东方向的射线为轴，建立平面直角坐标系，如图3所示：图3设渡轮由南岸码头（A点）出发，驶向北岸码头（B点）。在时刻，渡轮在方向上的位移为，在方向上的位移为；故渡轮在方向上的速度为，在方向上的速度为。再设渡轮的船头朝向与水平轴的夹角为，故将水速与船速分解后有：又因为渡轮运行时船头始终朝向北岸码头（B点），所以有：当时，渡轮还在南岸码头，故，。综合上述条件，可得微分方程组： 将，带入微分方程求解即可。5.1.2模型一的求解利用MATLAB编写程序，发
10、现无法得出解析解，故采取4阶Runge-Kutta算法求其数值解。在建立的boat1.m文件，加入（norm(x)1e-5）的限制条件，以保证渡轮在离北岸码头（B点）足够近的时候可以终止运算。求解后得出在水速、船速下，渡轮从南岸码头驶向北岸码头的运行路线（如图4），以及，关于时间的响应曲线图（如图5）： 图4 图5由数值解法可知按照这条路线行驶所需要的渡河时间，合11分钟6.7秒。5.2问题二模型的建立和求解5.2.1模型二的建立与模型一不同，在模型二中我们以北岸码头2（D点，下同）为原点，以沿北岸码头2指向南岸码头2（C点）的射线为轴，沿北岸码头1（B点）向北岸码头2方向的射线为轴，建立平面
11、直角坐标系，如图6所示：图6设渡轮由南岸码头1（A点）出发，驶向北岸码头2（D点）。在时刻，渡轮在方向上的位移为，在方向上的位移为；故渡轮在方向上的速度为，在方向上的速度为。与模型一相似，渡轮的船头朝向与水平轴的夹角为，渡轮运行时船头始终朝向北岸码头2（D点），故有与模型一相同的方程组： ， 与模型一相比，A点坐标的变化，使得初值条件发生改变：当时，渡轮还在南岸码头1（A点），故，。综合上述条件，可得微分方程组：将，带入微分方程求解即可。但是，值得考虑的是：当小船到达北岸码头2后，需要逆水行驶到北岸码头1，才能实现二次利用，该过程中小船速度和水流速度在同一条水平线上，故它们的合速度保持恒定，且
12、，时间，即可求出。5.2.2模型二的求解利用MATLAB编程，与模型一相同，无法得出解析解，采取4阶Runge-Kutta算法求其数值解。在建立的boat2.m文件中做与模型一一致的要求。求解后得出在水速、船速下，渡轮从南岸码头1出发，驶向北岸码头2的运行路线（如图7），以及，关于时间的响应曲线图（如图8）： 图7 图8由数值解法可知按照这条路线行驶，乘客从南岸到北岸所需要的渡河时间。渡轮到达后，从北岸码头2逆水行驶到北岸码头1，该过程中合速度保持恒定，且，时间。综上可知，利用模型二方案，乘客从南岸码头1到北岸码头2需要花费时间，合9分钟38.6秒。渡轮从南岸码头1到北岸码头1总共需要花费的时
13、间为。5.2.3模型一与模型二的比较模型一经过适当的修改，例如A点的坐标及微分方程的初值，便可以得到模型二，两个模型的本质及算法是相同的。就两岸人民出行目的而言，模型二下渡轮的航行路线虽然长，但其所花费时间更少，更符合人们的实际生活需求；但渡轮在到达北岸码头2后，需逆水行驶到北岸码头1才能执行下一趟任务，这样花费的时间和资源将会更多，而模型一就没有这个缺陷。5.3问题三模型的建立和求解5.3.1河水流速的拟合在实际生活中，河水中水流的速度并不会均匀分布。根据表1中测出的水流速度沿离北岸边距离的分布数据，利用MATLAB拟合出水流速度关于离北岸的距离的关系曲线，如下图9： 图9因为使用MATLA
14、B拟合出的水速分布的曲线方程的二次项系数很小，故将数据表示改为长整型，并保留六位小数，使得二次项系数数据得以保留，曲线方程如下：5.3.2模型三的建立针对问题一：在模型一的条件下，用替换，其他条件保持不变，于是有： , 当时，渡轮还在南岸码头，故，。改变后的微分方程组： 将带入微分方程求解即可。针对问题二:在模型二的条件下，用替换，其他条件保持不变，于是有： , 当时，渡轮在南岸码头，故，。改变后的微分方程模型为：同样地，渡轮在放下乘客后，需要从北岸码头2逆水行驶到北岸码头1，此时，时间，即可求出。5.3.2模型三的求解针对问题一：利用MATLAB编程，采取4阶Runge-Kutta法求其数值解。求解后得出在水速、船速下，渡轮从南岸码头驶向北岸码头的运行路线（如图10），以及，关于时间的响应曲线图（如图11）： 图10 图11由数值解法可知按照这条路线行驶所需要的渡河时间，合12分钟15.5秒。针对问题二：利用MATLAB编程，求其数值解。求解后得出在水速、船速下，渡轮从南岸码头1出发，驶向北岸码头2的运行路线（如图12），以
