比例线段与相似性质和判定考纲要求内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题知识讲解一、比例的性质1．这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2．(反比定理);3．(或)(更比定理);4．(合比定理);5．(分比定理);6．(合分比定理);7．(等比定理).二、成比例线段1．比例线段对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的项在比例式（）中，称为比例外项，称为比例内项，叫做的第四比例项．三条线段（）中，叫做和的比例中项．3．黄金分割如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．学案提升考点一：比例的性质☞考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质【例1】 若，则的值为________【答案】【巩固】设，则_______【解析】由及比例的性质可知：．也可用“过渡量”来求！【答案】【拓展】若，则的值为_________【答案】或[提示：等比性质，若时，，若，则]【例2】 已知，求的值【解析】解法一：设，则．∴．解法二：由得．∴．【答案】．【巩固】已知：．求.【解析】设，代入中得原式【答案】考点二：黄金分割☞考点说明：如果要考查可能出现在22题之中，需要掌握黄金分割的定义【例3】 如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则________，________．【解析】点是靠近点的黄金分割点，∴，即，又∵点是靠近点的黄金分割点，∴，∴【答案】、【例4】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求．【解析】∵，∴．．∵，∴．【答案】．考点三：平行线分线段成比例定理☞考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开【例5】 如图，，且，若，求的长．【解析】【答案】【例6】 如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，故正确．由，可得，故正确．由，可得，而，∴错误．【拓展】如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于．若，求证:．【答案】过点作的平行线，交于点．老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题：【例7】 已知，如图边长为的等边，，，则的长为_____【答案】【例8】 如图，在中，、，若，，则的长为________【答案】 [提示：设，则，，，代入即可求得]【例9】 已知，如图在平行四边形，为上任一点，连接交的延长线于求证：【答案】证明过程略。
[提示：，]考点四：梅涅劳斯定理☞考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的.梅氏线，叫梅氏三角形．证法一：如左图，过作∵，∴．证法二：如中图，过作交的延长线于∴，，三式相乘即得：．证法三：如右图，分别过作的垂线，分别交于．则有，所以．【例10】 如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______.【答案】2【解析】以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法：看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知，又，，故上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法.【例11】 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.【答案】（1）；（2）当时，；当时，（3）当时，【解析】梅氏定理，看被直线所截可知 ，而，，故.【巩固】如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点.（1）如果是的中点，求证：；（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立【拓展】在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交于、两点，求证：【解析】利用梅涅劳斯定理，得①把看成梅式三角形，看成梅氏线，故②把看成梅氏三角形，看成梅氏线，故，所以考点五：相似三角形的性质☞考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。
例12】 如图，四边形是平行四边形，为上一点，交于若，则( )A. B.C. D.【答案】B【例13】 已知为梯形一腰上一点，且，交于，，，则长为( ) A. B. C. D.【答案】A[提示：方法一，分别取、中点，连接，则，方法二：过点作交于，则，，∴，∴]【例14】 如图，在梯形中，，，，为边上的任意一点，，且交于点．⑴若为边上的中点，则（用含有，的式子表示）；⑵若为边上距点最近的等分点（，且为整数），则（用含有，，的式子表示）．【答案】，[提示：参考例7方法二]【例15】 如图，个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…， 的面积为，则=_______；=____________（用含的式子表示）．【答案】[提示：，…]【例16】 如图，在中，，，是的中点，过点的直线交边于点，若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形相似，则的长为（ ）A. B.或 C.3或 D.【答案】B考点四：相似三角形的判定☞考点说明:熟练掌握相似三角形的判定方法，【例17】 如图，小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是( ) 【答案】A【例18】 在中，，是边上的高，且，则的度数为_______【答案】或[注意分类讨论，如图有两种可能]【例19】 如图，已知，若再增加一个条件就能使结论成立，则这个条件可以是_______________【答案】答案不唯一，如等【例20】 已知：如图，点是边长为4的正方形内一点，,于点，试在射线上找一点，使得以点为顶点的三角形与相似，作图并指出相似比的值．【答案】[提示：已知，．欲使以点为顶点的三角形与相似，只要使及的两边对应成比例．]学案提升【例1】 已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且，过、分别作的垂线，交斜边于，．求证：．【答案】延长至，使则，于是可证，于是，∵，∴∴，∴，∴，∴．【例2】 若为内任一点，分别与相交于．求证：．【答案】证明：过做的平行线，交于，交于．过做的平行线，交于点．因为，所以，又因为，所以．进而．【例3】 已知，在中，、、为其三条高线，为此三角形内一点，且，，，、、为垂足，求证：.【答案】连接、、，在和中，∵，，∴ ①，同理可证： ②， ③，∴得：.课后作业【例1】 如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ）A. B.1 C. D.2【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题.【答案】C。