电磁学计算方法的比较

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1、电磁学计算方法的比较摘 要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法 做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分 方法以及复射线方法等。关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法1引言1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁 极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然 界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种 可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这 种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适

2、用范围太窄，只能求 解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的 数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的 发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电 磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问 题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方 法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人 们的重视。本文综述了国内外计算电磁学的发展状况，对常用的电磁计算方法做了分类。2 电磁场数值方法的分类电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大

3、类。频域技术主要有矩量法、 有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分 技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量 要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行 多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。 若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如 GTD，UTD和射线理论。从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE 和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解 区域的边界，故精度高；IE法适合求无

4、限域问题，DE法此时会遇到网格截断问 题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大； IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE法可直接用于这类问题1。 3几种典型方法的介绍有限元方法是在20世纪40年代被提出，在50年代用于飞机设计。后来这种 方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工 程和数学问题的一种通用方法，有限元法已非常著名。有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。其定解问题为：应用变分原理，把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，利用对区域D 的剖分、插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，进而得到一组多元

5、的代数方程组，求解代数方程组就可以得到所求边值问题的数值解。一般要经过 如下步骤： 给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。 剖分场域D,并选出相应的插值函数。 将变分问题离散化为一种多元函数的极值问题，得到如下一组代数方程组：其中：Kij为系数（刚度）矩阵；Xi为离散点的插值。 选择合适的代数解法解式（2）,即可得到待求边值问题的数值解Xi （i = 1,2,，N）（2）矩量法很多电磁场问题的分析都归结为这样一个算子方程2：L （f）=g （3）其中：L是线性算子，f是未知的场或其他响应，g是已知的源 或激励。在通常的情况下，这个方程是矢量方程（二维或三维的）。如果f能有方程解 出，则是一

6、个精确的解析解，大多数情况下，不能得到f的解析形式，只能通过 数值方法进行预估。令f在L的定义域内被展开为某基函数系f1, f2, f3,， fn的线性组合：其中：an是展开系数，fn为展开函数或基函数。对于精确解式（2）通畅是无限项之和，且形成一个基函数的完备集，对近似 解，将式（2）带入式（1）,再应用算子L的线性，便可以得到：m = 1, 2, 3,.此方程组可写成矩阵形式f,以解出f。矩量法就是这样一种将算子方程转化为矩 阵方程的一种离散方法。在电磁散射问题中，散射体的特征尺度与波长之比是一个很重要的参数。他决 定了具体应用矩量法的途径。如果目标特征尺度可以与波长比较，则可以采用一 般

7、的矩量法；如果目标很大而特征尺度又包括了一个很大的范围，那么就需要选 择一个合适的离散方式和离散基函数。受计算机内存和计算速度影响，有些二维 和三维问题用矩量法求解是非常困难的，因为计算的存储量通常与N2或者N3 成正比（N为离散点数），而且离散后出现病态矩阵也是一个难以解决的问题。 这时需要较高的数学技巧，如采用小波展开，选取合适的小波基函数来降维等3。（3）时域有限差分方法时域有限差分（FDTD）是电磁场的一种时域计算方法。传统上电磁场的计算 主要是在频域上进行的，这些年以来，时域计算方法也越来越受到重视。他已在 很多方面显示出独特的优越性，尤其是在解决有关非均匀介质、任意形状和复杂 结构

8、的散射体以及辐射系统的电磁问题中更加突出。FDTD法直接求解依赖时间 变量的麦克斯韦旋度方程，利用二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算 符直接转换为差分形式，这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数 据取样压缩。电场和磁场分量在空间被交叉放置，这样保证在介质边界处切向场 分量的连续条件自然得到满足。在笛卡儿坐标系电场和磁场分量在网格单元中的 位置是每一磁场分量由4个电场分量包围着，反之亦然。这种电磁场的空间放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然几何结构。因此 FDTD算法是计算机在数据存储空间中对连续的实际电磁波的传播过程在时间 进程上进行数字模拟。而在每一个网格点上各场分量的新

9、值均仅依赖于该点在同 一时间步的值及在该点周围邻近点其他场前半个时间步的值。这正是电磁场的感 应原理。这些关系构成FDTD法的基本算式，通过逐个时间步对模拟区域各网 格点的计算，在执行到适当的时间步数后，即可获得所需要的结果。在上述算法中，时间增量At和空间增量 M Ay和Az不是相互独立的，他们 的取值必须满足一定的关系，以避免数值不稳定。这种不稳定表现为在解显式 差分方程时随着时间步的继续计算结果也将无限制的67增加。为了保证数值稳 定性必须满足数值稳定条件：其中：（对非均匀区域，应选c的最大值）4。用差分方法对麦克斯韦方程的数值计算还会在网格中引起所模拟波模的色散， 即在FDTD网格中数

10、字波模的传播速度将随波长、在网格中的传播方向以及离 散化的情况而改变。这种色散将导致非物理原因引起的脉冲波形的畸变、人为的 各向异性及虚拟的绕射等，因此必须考虑数值色散问题。如果在模拟空间中采用 大小不同的网格或包含不同的介质区域，这时网格尺寸与波长之比将是位置的函 数，在不同网格或介质的交界面处将出现非物理的绕射和反射现象，对此也应该 进行定量的研究，以保证正确估计FDTD算法的精度。在开放问题中电磁场将 占据无限大空间，而由于计算机内存总是有限的，只能模拟有限空间，因此差分 网格在某处必将截断，这就要求在网格截断处不引起波的明显反射，使对外传播 的波就像在无限大空间中传播一样。这就是在截断

11、处设置吸收边界条件，使传播 到截断处的波被边界吸收而不产生反射，当然不可能达到完全没有反射，目前已 创立的一些吸收边界条件可达到精度上的要求，如Mur所导出的吸收边界条件。（4）复射线方法复射线是用于求解波场传播和散射问题的一种高频近似方法。他根据几何光学 理论和几何绕射理论的分析方法和计算公式，在解析延拓的复空间中求解复射线 轨迹和场的振幅和相位，从而直接得出局部不均匀波（凋落波）的传播和散射规 律5。复射线方法是包括复射线追踪、复射线近轴近似、复射线展开以及复 绕射线等处理技术在内的一系列处理方法的统称。其共同特点在于：通过将射线 参考点坐标延拓到复空间而建立了一个简单而统一的实空间中波束

12、/射线束 （Bundle ofrays）分析模型；通过费马原理及其延拓，由基于复射线追踪或复 射线近轴近似的处理技术，构造了射线光学架构下有效的鞍点场描述方法等。例 如，复射线追踪法将射线光学中使用的射线追踪方法和场强计算公式直接地解析 延拓到复空间，利用延拓后的复费马原理进行复射线搜索，从而求出复射线轨迹 和复射线场。这一方法的特点在于可以基于射线光学方法有效地描述空间中波束 的传播，因此，提供了一类分析波束传播的简便方法。其不足之处是对每一个给 定的观察点必须进行一次二维或四维的复射线轨迹搜索，这是一个十分花费时间 的计算机迭代过程。4几种方法的比较和进展将有限元法移植到电磁工程领域还是二

13、十世纪六七十年代的事情，他比较新颖。 有限元法的优点是适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问 题。这种方法的各个环节可以实现标准化，得到通用的计算程序，而且有较高的 计算精度。但是这种方法的计算程序复杂冗长，由于他是区域性解法，分割的元 素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很 大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。对电磁学中的 许多问题，有限元产生的是带状（如果适当地给节点编号的话）、稀疏阵（许多 矩阵元素是0）。但是单独采用有限元法只能解决开域问题。用有限元法进行数 值分析的第一步是对目标的离散，多年来人们一直在研究这个问题

14、，试图找到一 种有效、方便的离散方法，但由于电磁场领域的特殊性，这个问题一直没有得到 很好的解决。问题的关键在于一方面对复杂的结构，一般的剖分方法难于适用； 另一方面，由于剖分的疏密与最终所形成的系数矩阵的存贮量密切相关，因而人 们采用了许多方法来减少存储量，如多重网格法，但这些方法的实现较为困难6。网格剖分与加密是有限元方法发展的瓶颈之一，采用自适应网格剖分和加密技 术相对来说可以较好地解决这一问题。自适应网格剖分根据对场量分布求解后的 结果对网格进行增加剖分密度的调整，在网格密集区采用高阶插值函数，以进一 步提高精度，在场域分布变化剧烈区域，进行多次加密。这些年有限元方法的发展日益加快，与

15、其他理论相结合方面也有了新的进展， 并取得了相当应用范围的成果，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、 开域问题、高磁性材料及具有磁滞饱和非线性特性介质的处理等，还包括一些尚 处于探索阶段的工作，如拟问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化设计中的 应用、边基有限元法等，这些都使得有限元方法的发展有了质的飞跃。矩量法将连续方程离散化为代数方程组，既适用于求解微分方程，又适用于求 解积分方程。他的求解过程简单，求解步骤统一，应用起来比较方便。然而77 他需要一定的数学技巧，如离散化的程度、基函数与权函数的选取，矩阵求解过 程等。另外必须指出的是，矩量法可以达到所需要的精确度，解析部分简单，可

16、 计算量很大，即使用高速大容量计算机，计算任务也很繁重。矩量法在天线分析 和电磁场散射问题中有比较广泛地应用，已成功用于天线和天线阵的辐射、散射 问题、微带和有耗结构分析、非均匀地球上的传播及人体中电磁吸收等。FDTD用有限差分式替代时域麦克斯韦旋度方程中的微分式，得到关于场分量 的有限差分式，针对不同的研究对象，可在不同的坐标系中建模，因而具有这几 个优点，容易对复杂媒体建模，通过一次时域分析计算，借助傅里叶变换可以得 到整个同带范围内的频率响应；能够实时在现场的空间分布，精确模拟各种辐射 体和散射体的辐射特性和散射特性；计算时间短。但是FDTD分析方法由于受 到计算机存储容量的限制，其网格空间不能无限制的增加，造成FDTD方法不 能适用于较大尺寸，也不能适用于细薄结构的媒质。因为这种细薄结构的最小尺 寸比FDTD网格尺寸小很多，若用网格拟和这类细薄结构只能减小网格尺寸， 而这必然