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1、 金山区 2020 学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1已知集合 A =1,2,3,4，集合 B =2,3,m，若 A B =2,3,4 ，则m =2 0 4 2若关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ，则 x -y =0 1 23不等式x1 -x0 的解集为 4若直线 l 的参数方程为 x =2ty =-2+4t（t 为参数，tR），则 l在 y 轴上的截距为 5若a +2i
2、i=b +i（a、bR，i 为虚数单位），则 a+b =6某圆锥的底面积为4 p，侧面积为8p，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 7若正方形 ABCD 的边长为 1，记AB =a，BC =b，AC =c，则a +2b -3c =8一个不透明的袋中装有 5 个白球、4 个红球（9 个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出 3 个球，则摸出的 3 个球中至少有一个是白球的概率为 _（结果用最简分数表示）19若首项为 1、公比为 的无穷等比数列的各项和为 S ， S 表示该数列的前 n 项和，3 n则lim( S +S + 1 2n +S -nS ) n的值为 10函数y =log
3、 ( x +3) -1（a1 且 a1）的图像恒过点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0， a其中 m0，n0，则1 2+m n的最小值为 高三数学 第 1 页 共 10 页11若函数f ( x) =(1 +sin x)2021+(1-sin x )2021p 2p ，其中 x ，则6 3f ( x )的最大值为 12已知向量a与b的夹角为 60，且| b |=2 | a |=2，若c =la+mb，其中l+2m=2，则向量 a 在 c 上的投影的取值范围为 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项
4、的小方格涂黑13函数y =2 cos 2 x （ x R ）的最小正周期为( )(A)2(B)(C)2 (D)4 14下列命题为真命题的是( )(A) 若直线 l 与平面 上的两条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直(B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直(D) 若直线 l 上的不同两点到平面 的距离相等，则直线 l 与平面 平行15设 A、B 为圆x 2 +y 2 =1上的两动点，且AOB=120，P 为直线 l：3x 4y 15=0上一动点，则| PA +PB |的最小值为( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)
5、616 已知定义在实数集R上的函数f ( x )满足f ( x +1) =12+f ( x ) -f 2( x )，则f (0) + f (2021)的最大值为( )(A)1 3(B)2 2(C)1 -2 2(D) 1+2 2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤高三数学 第 2 页 共 10 页17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生如图，A- B- C- A 为某区的一条健康活的
6、一道亮丽风景线.步道，AB、AC 为线段，BC 是以 BC 为直径的半圆，AB= 2 3 km，AC=4km，BAC =p6(1) 求BC的长度；(2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道 A- D- C（B，D 在 AC 两侧），其中 AD，CD 为线段. 若ADC =p3，求新建的健康步道 A- D- C 的路程最多可比原有健康步道 A- B- C 的路程增加多少长度？（精确到 0.01km）18(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)在长方体 ABCD -A B C D 中， AB =BC =2 ，过 A 、C 、1
7、1 1 1 1 1B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ABCD -AC D ，且这个几何体的体积为10 1 1 1(1) 求棱 A A 的长；1(2) 求点 D 到平面 A BC 的距离1 1D1A1DA BC1C19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知抛物线G: y2=8 x的焦点为 F ，半径为 1 的圆 M 的圆心位于 x 轴的正半轴上，过圆心 M 的动直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点， 如图所示高三数学 第 3 页 共 10 页a n (1) 若圆M经过抛物线G的焦点F，且圆心位于焦点的右侧，求圆M的方程；(2)
8、是否存在定点 M ，使得1 1+| MA | | MB |为定值，若存在，试求出该定点 M 的坐标，若不存在，则说明理由20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分)在数列a n中，已知a =21，aa =2a -a n +1 n nn +1(n N*)1 (1) 证明：数列 -1 为等比数列；(2) 记b =na an n +12n，数列b n的前n项和为Sn. 求使得S 1.999n的整数n的最小值；(3) 是否存在正整数 m 、 n 、 k ，且 m n 2f ( x ) -f ( x )1 2成立，求实数 t 的最大值高三数学
9、第 4 页 共 10 页2 金山区 2020 学年第二学期期中考试高三数学试卷评分参考答案(满分： 150 分，完卷时间： 120 分钟 )一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果14； 20； 3x|0x1 或0, 1)p； 42； 51； 6 ；37 5 ； 820 3； 9 -21 4； 108； 1122021； 121( - , 12二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13B； 14B； 15C； 16D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分)解：(1) 联结 BC，在ABC 中，由余弦定理可得，BC =AC 2 +AB 2 -2 AC AB cos BAC = 16 +12 -2 4 2 3 32=2，3 分所以BC=122 p1=p，即BC 的长度为p(km)；5 分(2) 记 AD=a，
