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1、 基于多缩放基调频变换的时频脊线精细化表征方法 丁嘉凯, 王 义, 穆志国, 张光耀, 李 城(1.重庆大学 机械与运载工程学院,重庆 400030; 2.重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400030;3.中航西安飞机工业集团股份有限公司,西安 710089)旋转机械被广泛应用在航空发动机、风力发电机和直升机等传动系统。由于在实际运行过程中,其工况经常发生变化,常常处于变载荷、变转速的工况下,工作环境及其恶劣,极容易发生故障1-5。目前,越来越多的旋转机械处在变转速工况下进行工作,如汽车的升降速、飞机的起落过程和航空发动机运行过程等等。当旋转机械处在变转速工况下,所测得的振动信号将失去周
2、期性变化的规律,并呈现出非平稳性出现调频、调幅与调相等现象6。传统的频谱分析方法仅能适用于平稳信号的分析,所以针对变转速下的旋转机械故障诊断基于恒定转速的分析方法无法达到目的。因此,如何从非平稳振动信号中提取旋转机械是进行故障诊断的一个重要问题7-9。近年来,国内外许多学者对非平稳振动信号特征提取方法进行了广泛的研究,其主要方法分别为阶次跟踪方法与时频分析方法10-13。其中阶次跟踪方法主要是对原始信号进行等角度重采样,转化为平稳信号后再进行频谱分析得到信号阶次谱。但是传统阶次分析中转速需要通过转速计测取,由于测取转速受到安装成本以及安装空间限制,故许多学者在原始信号中进行转速提取,构成无键相
3、阶次分析方法14-16。虽然无键相阶次分析可以将时域非平稳信号转化为角域平稳信号,恢复原始信号的周期性,但是等角度重采样过程较为复杂,计算效率较低17,并且从阶次分析结果可得其存在包络畸变现象,故阶次分析存在一定的误差18。时频分析方法对于提取非平稳信号的时变特性有很大的优势,它是一种能在时频域中定量又能较为直观地描述信号故障特征的分析方法,所以针对变工况下非平稳振动信号时频分析是一种有效的分析手段19。但是传统时频分析方法各有优缺点,如短时傅里叶变换(short-time Fourier transform, STFT)和小波变换(wavelet transform, WT)本质上是一种以时
4、频平面上的静态分辨率为特征的线性变换,它被细分为一个恒定面积的基本单元,虽然不存在交叉项干扰的问题,但是其时频分辨率受到Heisenberg不确定性原理的限制,不能在时频分辨率上同时达到最佳20。Wigner-Ville分布(Wigner-Ville distribution, WVD)虽然在时频分辨率上较STFT和WT高,但是WVD存在固有的交叉项干扰问题,不适用于分析复杂多分量非平稳信号21。以WVD为基础扩展的双线性时频分布如Cohen类分布和仿射类分布,它通过各类核函数进行平滑处理,虽然抑制了交叉项干扰,但是其会造成原始信号发生畸变,从而造成时频分辨率降低22。Hilbert-Huan
5、g变换对信号的时变具有自适应性,并且具有良好的局部时频聚集能力,但是针对信号中的奇异点较为敏感,容易产生模态混淆等影响,造成产生虚假的本征模态函数(intrinsic mode function, IMF),最终影响分析结果23。为了处理以上问题,调频变换(chirplet transform, CT)应运而生,它是针对用于分析线性瞬时频率(instantaneous frequency, IF)恒定的调频信号24。但是,当待分析信号具有非线性IF轨迹时,CT也不能保证时频表征的精度。为了解决这个问题,Peng等25提出了一种多项式chirplet变换(polynomial chirplet
6、transform, PCT)时频分析方法,它通过使用多项式函数代替线性调频核,可以逼近非线性IF轨迹,最终得到时频能量集中较好的时频表征。虽然PCT在分析强非线性IF信号时表现出了较强的时频分辨率,但是在变工况下,实际振动信号的复杂性和多样性导致我们不能使用一个单独的多项式模型来描述所有的信号分量。此外,由于PCT需要在传统的时频表征方法上进行IF估计,因此需要初始化的时频表征具有一定的能量集中度,否则无法达到精细化时频表征26。国内外针对IF脊线精细化表征做了许多研究27,但是在强噪声和多分量的情况下,由于噪声和无关分量的影响对于弱分量提取较为困难。本文针对CT在分析非平稳振动信号时其核函
7、数固定不变导致IF轨迹无法达到精细化表征的问题,本文提出了一种MSBCT精细化时频表征方法,理论分析结果表明该方法可利用高阶相位算子将核函数精确逼近IF轨迹,使得该方法在变转速工况下针对非线性IF轨迹可得到精细化时频表征。并通过仿真和试验验证该方法可适用于处理强噪声、多分量的信号,并且可应用于变转速旋转机械故障诊断,能够直观地提取故障特征频率。1 多缩放基调频变换1.1 CT理论信号x(t)L2(R)的chirplet变换基础理论公式可表示为(1)式中:s(t)为信号x(t)经Hilbert变换得到的解析信号,s(t)=x(t)+jH(x(t);(t)为相位函数;h(t)为一个归一化的时不变高
8、斯窗函数并且h(t)L2(R)。采用的高斯窗函数可表示为(2)式中,代表高斯窗函数的标准差。根据Ville28提出的理论可知,信号的瞬时频率可以由解析信号的相位导数来计算得到,则解析信号s(t)可以表示为(3)(4)式中:t0R为选择的时间中心;(t0)R为t0时刻的信号频率大小,令C=(t0),在CT中CR为调频率。CT核心为通过旋转频率来匹配信号中的瞬时频率(IF)轨迹,从而获得具有较高能量浓度的时频分布(time-frequency representation, TFR)。将式(4)进行二次求导可得调频率C的具体表达式如下所示(t0)+C(t-t0)(5)(6)式中:-/2,/2为旋转
9、角度;C为一个常数。当旋转角度的正切值tan等于信号的IF轨迹的斜率d(t)/dt时,对应的TFR的能量浓度最高。CT调频率与信号的IF轨迹斜率匹配原理如图1所示。图1时频图中包含信号分量1(t)。1(t)IF轨迹斜率为-tan,CT采用的是一个时不变高斯窗进行时频变换,其中窗函数的窗长固定不变为WL。当C为0时,此时的CT即为STFT,如图1中虚线所示,此时的CT窗函数与信号分量存在一个夹角,得到的TFR会存在一定的能量泄露造成频谱模糊效应,得不到具有较高能量浓度的TFR。当CT中的C为-tan时,此时C等于信号IF轨迹的斜率,造成的能量泄露较少可得到信号较高能量浓度的TFR,如图1中实线部
10、分。图1 传统CT调频率与信号的IF轨迹斜率匹配原理Fig.1 Matching principle of traditional CT kernel function and signal IF trajectory1.2 CT方法的局限性由于CT变换的调频率C是固定值,所以它在处理具有相同IF轨迹斜率的多分量信号具有优势,它能得到具有较高的能量浓度的TFR。但是实际信号中通常不会存在一致的IF轨迹斜率多分量信号,比如机械装备中轴承在变转速的条件下运行时,出现故障后会产生不同的故障频率,这些故障IF轨迹斜率通常不一致。所以,CT在处理不同IF轨迹斜率多分量信号也会产生能量泄露导致频谱模糊效应
11、。因此,在具有不同IF轨迹斜率的多分量信号中进行CT变换时,要在同一时刻不同频率分量上达到最佳的能量浓度是不可能实现的,这是由于CT的理论基础决定的。故需要对传统CT变换进行改进,需要针对具有不同IF轨迹斜率的多分量信号进行C的自适应选取,以至于得到最佳能量浓度的TFR,为后续的变工况下机械装备故障诊断与非平稳信号时频脊线精确提取奠定基础。1.3 MSBCT方法针对不同IF轨迹斜率的多分量信号,其IF函数利用泰勒公式进行展开,文献26与文献29均将其展开至低阶形式,本文利用泰勒公式将IF函数展开至高阶形式,可针对多个信号分量IF轨迹斜率进行匹配,并根据实际信号在分析频率范围内存在多个分量信号的
12、特性,得到MSBCT方法中高阶相位算子具体形式如下所示(t0)+(t0)(t-t0)+(7)联合式(3)和式(7)可得MSBCT方法的具体表达式为exp(-j2(t)dt(8)由于信号的IF不能提前知道,但是IF轨迹斜率的角度可以知道其范围,其角度范围从-/2变化到/2。则多信号IF轨迹斜率角度可设置为(9)(10)(11)C1=Atan(12)C2=Btantan(13)C3=Ctantantan(14)式中,A,B,C分别为等式系数,即存在系数A,B,C使得式(12)(14)成立。将式(12)(14)代入式(8)中,可得:Atan(t-t0)2+Btantan(t-t0)3+Ctantan
13、tan(t-t0)4)h(t-t0)exp(-j2(t)dt(15)由于解析信号扩展为多项式形式,则MSBCT方法中的核函数需进行泰勒展开并且与解析信号中多项式抵消项,则可得到TFR的最佳峰度,其最佳峰度表达式为(16)式中,V为TFR的最大范围。此时得到的即为最佳浓度的TFR,所以最终MSBCT表达式为exp(-j2(t+Atan(t-t0)2+Btantan(t-t0)3+Ctantantan(t-t0)4)dt(17)本文确定MSBCT参数的有效方法为通过生成一系列IF轨迹斜率夹角,和的组合来生成TFR。对于每个时间点找出TFR能量浓度最高的参数组合作为最佳参数组合。其中通过式(16)来
14、寻找TFR最优能量浓度,然后依次迭代确定每个时间点的最优参数组合,从而得到整段信号的最优MSBCT参数组合。其中,MSBCT最优参数组合表达式为(18)2 性能评估该部分本文利用仿真信号对MSBCT算法进行性能评估,验证其是否具有在时变工况下对时频脊线精细化表征的能力,并且利用最新的时频变换方法与MSBCT算法进行性能比较,如VSLCT,SBCT,CWT和STFT。本文利用一个IF轨迹斜率时变的多分量信号进行MSBCT时频表征,从而验证MSBCT算法可针对时变工况下IF轨迹进行精确化时频表征。本章采用的仿真信号s1(t)如下所示(19)式中,1(u)为基频。其表达式如下(20)在此案例中仿真信
15、号s1(t)的采样频率为100 Hz,采样时间为50 s。并且其他倍频与基频之间的关系如下(21)仿真信号s1(t)的时域图和频域图如图2所示。s1(t)为调频调幅信号,所以利用MSBCT算法对仿真信号s1(t)进行精确时频表征,其TFR如图3所示。MSBCT算法可将仿真信号s1(t)进行精确时频表征,在A部分IF轨迹紧邻分量,MSBCT将4条紧邻分量进行精确的时频表征,没有产生任何时频模糊现象。在B部分IF轨迹斜率突变处也得到了清晰的时频表征图。所以图3的结果可以看出,MSBCT可在时变工况下将时频脊线进行精细化表征。(a)(b)图2 仿真信号s1(t)的时域图和频域图Fig.2 Time-domain and frequency-domain diagrams of the simulation signal s1(t)图3 利用MSBCT算法对仿真信号s1(t)的TFRFig.3 The TFR of s1(t) by using MSBCT algorithm利用不同的时频变换方法对仿真信号s1(t)进行时频表征,其TFR如图4所示。其中,SBCT与STFT的窗口长度设置为128。如图4(a
