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1、拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。拔河比赛有各种比赛分级方法。常见的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜。请你们队完成如下工作：1在某种分级比赛中，如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？请对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果
2、。2比赛获胜规定为拉过绳索4米，请通过数学建模的方式说明该规定是否科学。3当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。请你设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，该规则要定量的说明。4向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。1、问题的提出拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且
3、比赛现场气氛热烈。拔河比赛有各种比赛分级方法。常见的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子拉过自己一侧4米则该方获胜。本论文试图运用物理受力分析方法，微分方程方法来求取最优位置安排，分析拉过绳索的长度，最后定制合理的比赛规则，给出合理的提案。2、问题的分析2.1问题一解决在某种级别中如何安排拔河比赛中队员的位置，才在比赛中发挥最大能量。拔河比赛分级别进行，每队8人。8人中的身高体重各有差异，所以就需要调整队员战队的顺序。综合考虑各方面的因素来获取胜利。首先，我们需要知道影响拔河比赛胜负的因
4、素有哪些。对其中一队做受力分析，将其看做一个整体可知，重力与支持力在竖直方向上，绳子的拉力与摩擦力在水平方向上。在对两队同时做受力分析，将两队看做一个整体，两队受到的力（绳子的拉力）是作用力与反作用力，大小相等，方向相反。对于拔河的双方，对B施加了多大的拉力，B对A也同时产生同样大小的拉力，可见双方之间的拉力并不是决定胜负的因素。所以一方的获胜取决于该队的摩擦力与绳子拉力的合力，又因为双方受到的拉力相同，所以取胜关键就在于双方各自摩擦力的大小，即摩擦力大的一方获胜几率就大。下来对有可能影响摩擦力的因素进行分析，首先对体重进行分析，有物理学知识，摩擦力与体重成正比。故，体重越大，摩擦力也就越大。
5、因为每级别相差40公斤，所以在40公斤范围内，其中一队比另一队体重重的越多获胜几率就越大。其次，对身高进行分析，身高的高低影响重心的高低，需对身高高的在前和身高低的在前两种情况进行分析。2.2对于绳子被拉动的距离，根据牛顿受力分析，利用微积分方程求解得到移动的位移，与4米比较即可判定拉过绳索4米是否合理。2.3根据牛顿定律分析可得到影响比赛是因素体重，从此着手，制定出公平的规则。2.4根据指定的规则以及当代大学生的体质，给出一个合理的提案。 3、模型假设3.1假设绳子的质量可以忽略3.2假设拔河过程中手与绳子无相对滑动3.3假设拔河过程中队员与地面的摩擦系数一样3.4假设拔河过程中双方队员总质
6、量一样 4、符号说明表示参赛队员的质量（）表示参赛8人的总质量表示摩擦系数队员受到地面的摩擦力表示队员对地面的正压力分别队员对绳子的拉力表示受到的合力分别表示受到的重力 5、模型的建立及求解5.1对甲乙两队进行力学分析，假设拔河双方每一个队看做一个整体，拔河用的绳子质量不计，画出力的示意图，如图1所示。 图1甲乙双方受力图根据牛顿第三定律，甲对绳的拉力和绳对甲的拉力是一对相互作用力，大小相等，乙对绳的拉力和绳对乙的拉力也是一对互相作用力，大小相等。由于绳的质量不计，故张力处处相等。因此，对于拔河的两个人，甲对乙施加了多大拉力，乙同时也对甲施加了一个同样大小的拉力甲受4个力的作用：重力； 地面对
7、甲的支持； 地面对甲的摩擦力； 绳对甲的拉力。 乙受4 力作用: 重力 ；地面对乙的支持力； 地面对乙的摩擦力 ；绳对乙的拉力。所以 （5.1.1）既然双方所受的拉力大小相等，应该不可能分出胜负，但实际上总有一方获胜。可见，双方之间的拉力并不是决定的因素。因此，增大与地面的最大静摩擦力就成了取胜的关键。首先，下面对在拔河中所涉及到的有关力学知识进行具体分析。由于队员拔河技术，身高，姿势的差异，A、B由于身高和身体姿势的不同，从而使绳与水平面产生的角度为，合力与水平面产生的角度为。受力分析如图2所示，列出的关于摩擦力大小的力学表达式为： （5.1.2）图2其中，甲乙两人的重力与，以及拉力，摩擦系
8、数都恒定，从而得到摩擦力表达式是关于自变量的函数，俯角是影响摩力的大小的唯一因素。由此，以上物理过程分析可转化为求解 （5.1.3）这个一元一次函数的最大值求解问题。关于对函数的分析：摩擦力与双方的体重和合力与地面产生的角度密切相关，在体重的摩擦系数相等的情况下，角度越大，摩擦力也就越大（函数在上单调递增）。因此，在拔河比赛中客观因素（体重、摩擦系数）相同的情况下，为了增加摩擦力，其关键是要增加与对方产生的俯角。图3显然，对于那些有身高优势的队员，产生的俯角要大一些，为了解决增加俯角这个问题，将身高较高的的队员安排在前，向后上方用力“挺”住，并稳住整个队形的队头，身材较矮的队员在后，尽力下压降
9、低重心，稳住队尾。这种自前而后重心依次降低的排列方式，即“前高后低式”的阵形，既增加了自身与地面的最大静摩擦力，又能使重心更稳定。在客观条件（身高、体重）相差不大的情况下势必能取得理想的成绩。但是若在比赛中，如果不论前后队员，一贯地强调降低重心，而不首要考虑高度安排方式，那么这样的结果只能加大了自身与对方的仰角，为对方增加摩擦力，从而转变成不利因素。此外，拔河比赛中个人的状态和队员之间的默契程度以及个人技巧和团队技巧都会影响比赛获胜的几率。5.2 在拔河比赛中，将每个队伍看作一个整体，比赛选手的集合记为A,B,考虑拔河绳中间的小旗位置的变化，将比赛过程分为m+1个状态，记M=0,1,2,3，.
10、m，在比赛开始即t时刻，小旗位于状态 j=m处，在每一个时刻t=1,2,3.小旗的位置为j=I,经过双方的对抗使得小旗位置发生改变，若t时刻A队占优势，则在t+1时刻小旗位置变为j=i-1;若t时刻B队占优势，则在t+1时刻小旗位置变为j=i+1。因此两支队伍在T时刻胜利的条件为：若小旗到达位置0，即j=0,则左侧的队伍A胜利，若小旗到达位置m，即j=,m,则右侧的队伍B胜利。图4分析比赛双方所产生的拉力。在比赛的过程中的每个状态。两支队各自产生的拉力是不断变化的，假设两支队伍产生的拉力服从正态分布。即 fN(,) fN(,) (5.2.1)由于我们考虑的是两支队伍的相对拉力大小，不妨令+=1
11、，则，分别是两支队伍产生拉力所占两者拉力的比例，则再考虑时刻t，小旗的位置为j=j的情况。记p为从时刻t+1，A队取得优势的概率为： P=P(ee)= P(e-e0)=P(0) (5.2.2)两队的拉力差的分布为 N(-,2) (5.2.3)因此 P=p(0)=1-p(0)=1-d (5.2.4)A队取得优势即A队伍在j状态所产生的拉力大于B队在j位置所产生的拉力。如果在某时刻两支队伍产生的拉力相同，则比较下一时刻。从而t+1时刻小旗到达j+1位置的概率为q=1-p。当j=0或j=m，之后的时刻始终停留在该位置，因此整个比赛过程构成了一带两个吸收壁的齐次Markov链，其转移概率为 （5.2.
12、5）其一步转移概率矩阵有如下形式p= （5.2.6）其中 q=1-p （5.2.7）由于该Markov链是齐次的，因此，n步转移概率为 p (5.2.8)从而第n步时小旗位于处的概率p即为p中第m+1行第1列的元素。第n步时小旗位于点处的概率p即为p中第m+1行第一列元素的大小，即p。当该概率大于某一规定值时，我们称此时的m是合理的规定值。即在确定m值后，当A队的实力期望值大于B队时，A队有超过该规定定值的概率在比赛中获胜。相应的，对于的情况，对p用同样的方法进行分析即可。在运用上述方法确定m之后，不妨假设每一个时刻两支队伍竞争所产生的位移为一确定的常数d，则比赛获胜的条件是一方将绳索拉过 d
13、=,再将结果与目前的规则对比，再进一步的改进方案。5.2数值模拟假设一场比赛的时间为5分钟，每一次拉绳的时间为2秒，那么拉绳次数的上限为n=150。不妨设，此时和分别表示A队和B队所提供的拉力所占的总拉力的比例。假定每次进攻成功后A队每个参赛队员后退一步即d=0.5米，则比赛获胜规定应为拉过绳索m米。经过数值模拟，以转移概率p0.95作为A队胜出的评价，m值的下限随的变化可由图5给出图5由图意见，当A,B两队能力差异非常不明显时，无法找到100之内的M，使得A队在N150的条件下胜出比赛。条件m=16能够保证在A队，B队产生拉力有一定差距时，使A队在N150的条件下胜出比赛。在这个条件下，比赛
14、规定应为拉过身拉过绳索m/4=4米。下面计算当m=16，即，在方差时，中心小旗在5分钟即n=150步，从转移到0点的概率。由（5.4）知p=1- (5.2.9)此时一步转移矩阵 p= (5.2.10)求得 p=0.95 (5.2.11)5.3设计一个规则，使既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛的规则。5.3.1、比赛规则：（1）共分8队。每支参赛队由领队1人，负责集合及统筹本队的参赛事宜。各队选出参赛选手，最多8人组成（其中1名男选手抵2名女选手）（2）采取淘汰制，具体如下图。冠军半决赛半决赛第一队第四队第三队第二队第八队第七队第六队第五队图6（2）比赛采取7局4胜制，如5分钟内不能决出胜负者本局比赛结束。重新开始下一局。（3）拔河道为水泥地上画3条直线，居中的线为中线，两边的线为河界。拔河
