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1、 1 1单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为()2.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中点,则等于()A.3B.2C.1D.03.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.E
2、H平面ADC,且四边形EFGH是梯形4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD=60,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.导学号372705905.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S
3、3S1导学号372705916.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.导学号37270592二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在菱形ABCD中,AB=2,BCD=60,现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,平面SAB平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为.导学号37270593三、解答题(本大题共3小题,共4
4、4分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.10.(15分)(20xx北京,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.导学号3727059411.(15分)如图,在几何体ABCDE中,四边形
5、ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.导学号37270595参考答案单元质检八立体几何(B)1.B解析 由正视图和俯视图还原几何体如图所示,由正视图和俯视图对应线段可得AB=BD=AD=2,当BC平面ABD时,BC=2,ABD的边AB上的高为,只有B选项符合,当BC不垂直平面ABD时,没有符合条件的选项,故选B.2.D解析 =()()=0.3.B解析 如图,由题意,得EFBD,且EF=BD.HGBD,且HG=BD,故EFHG,且EFHG.因此,四边形EFG
6、H是梯形.又EF平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故选B.4.A解析 MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=r3=.BAD=60,ADC=120,120为360的,只取半球的,则V=.5.D解析 根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥D-ABC,如图,显然S1=SABC=22=2,S2=S3=2.故选D.6.A解析 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,2),G.=(-2,0,-1),=(-1,0,1),设平面GEF的一个法向量为n=
7、(x,y,z),由得令x=1,则n=(1,-,1).设B1F与平面GEF所成角为,则sin =|cos|=.7.解析 如图,取BD的中点O,连接AO,CO,建立如图所示的空间直角坐标系,AB=2,BCD=60,A(0,0,),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,0),=(1,0,-),=(-1,-,0),cos =-.异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.8.解析 记球O的半径为R,由ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=.作SDAB于D,连接OD,OS,易知SD平面ABC,注意到SD=,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为,因此高SD的最大值是=
8、1.又三棱锥S-ABC的体积为SABCSD=22SD=SD,所以三棱锥S-ABC的体积的最大值是1=.9.(1)证明 如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为平面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解 因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),D(0,0),E.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),=(m,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则
9、可取n1=.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos|=,即,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V=.10.(1)证明 因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解 取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2, 0,0),D
10、(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),所以cos=-.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)解 设M是棱PA上一点,则存在0,1使得=.因此点M(0,1-,),=(-1,-,).因为BM平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当n=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时.11.(1)证法一 如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GHAB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边
11、形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.证法二 如图,取AB中点M,连接MG,MF.又G是BE的中点,可知GMAE.又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MFAD.又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因为GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF.所以GF平面ADE.(2)解 如图,在平面BEC内,过B点作BQEC.因为BECE,所以BQBE.又因为AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.又=(2,0,-2),=(2,2,-1),由取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos=.所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
