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1、第五 章向量与空间解析几何1第五章Ad v anced mathematics向量与空间解析几何高等数学第五 章向量与空间解析几何2内容导航第五章第二节 平面及其方程 第三节 直线及其方程 第四节 曲面与曲线第一节向量及其运算课 前 导 读既有大小又有方向的物理量称为向向量量.在数学上可用有向线段来表 示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向.1、向量向量的的表示：表示：以M1 为起点，M 2为终点的有向线段表示的向量记为 M1M 2，有时也用一个黑体字母（书写 时，在字母上面加一箭头）来表示（见 图 5-1），如a 或a.M 1M2e3a图5-1课 前 导 读2、向向量量的
2、的模模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a，M1M 2.模为1的向量称为单单位向量位向量，记作e.模为0 的向量称为零向零向量量，记作0.零向量的方向可以看作是任意方向.3、向径、向径：以原点O 为始点，向一点 M 引向量OM，这个向量叫 做点M 对于点O 的向径，记作r，即r OM.4、自、自由向由向量量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自 由向量.45第五 章向量与空间解析几何一、空间直角坐标系图5-2图5-3原点Oy 纵轴横轴 xyx O过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴（见图 5-2），它们都以 O 为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为 x
3、 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规则（见图 5-3）.这样的三条坐标轴就 组成了空空间间直角坐直角坐标标系系.zz竖轴第五 章向量与空间解析几何三条坐标轴中的两条可确定一个平面称为坐标面：xOy,yOz,zOx 平面，它们 把空间分成了八个卦限，在 xOy 面上逆时针依次为、III、IV 卦限，下面依 次为 V、VI、VII、表示，如图 5-4 所示.一、空间直角坐标系图5-4zy6x0第五 章向量与空间解析几何一、空间直角坐标系zyx图5-5对于空间一点M ，过点M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，它们 与 x 轴、y 轴和 z 轴的交
4、点依次为 P、Q 和 R（见图 5-5）这，三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标为x 、y 和 z，则这组有序数 x、y 和 z 称为点M 的坐标，记为 M x,y,z .z78第五 章向量与空间解析几何图5-6一、空间直角坐标系yx反之，已知一有序数组 x、y 和 z，我们可以在 x 轴、y 轴和 z 轴上分别取 坐标为 x 的点 P，坐标为 y 的点Q ，坐标为 z 的点 R，过三个点分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的三个平面，它们相交于一点M ，这M 即为以 x、y 和 z 为坐标的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点 M 与有序数组 x、y 和 z 的一一 对应关系，见图
5、 5-6.RzPQMOr9第五 章向量与空间解析几何我们先来看几个特殊点的坐标：在 xOy 平面上：z 0，故对应点的坐标为 A(x,y,0)；在 yOz 平面上：x 0，故对应点的坐标为 B(0,y,z)；在 zOx 平面上：y 0，故对应点的坐标为C(x,0,z).在 x 轴上：y z 0，点的坐标为 P(x,0,0)；在 y 轴上：z x 0，点的坐标为Q(0,y,0)；在 z 轴上：x y 0，点的坐标为 R(0,0,z).图5-6一、空间直角坐标系zyxR(0,0,z)C(x,0,z)P(x,0,0)A(x,y,0)Q(0,y,0)B(0,y,z)MOr10第五 章向量与空间解析几何
6、设M1 x1,y1,z1、M2 x2,y2,z2 为空间两个点（见图 5-7），通过M1、M 2 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M1、M 2 为对角线的长222122121212d 2 M M x xy yz z，即22212212121方体，由此可得d M M x xy yz z.图5-7一、空间直角坐标系zz2y1y2yxM1M2z1x2x1O第五 章向量与空间解析几何例例 1 证明以点 M1 4,3,1、M2 7,1,2 及 M3 5,2,3 为顶点的三角形是等腰 三角形.7 42 1 32 2 125 72 2 12 3 224 52 3 22 1 32证证M
7、1M2M2 M3M3M1即 M2 M3 M3M1，因此该三角形是等腰三角形.一、空间直角坐标系14，6，6，11第五 章向量与空间解析几何例例 2 在 z 轴上求与两点 A4,3,1 和 B 3,5,2 等距离的点.解解0 42 0 12 z 72 3 02 5 02 2 z2 ，9一、空间直角坐标系设所求点的坐标为M 0,0,z，由 AM BM，即9 12得 z 14，因此所求点的坐标为 M 0,0,14 .13第五 章向量与空间解析几何 a,b b,a0 ，二、向量的运算aa图5-8b1、向量的投影及投影定理、向量的投影及投影定理将向量a、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆
8、时针方向转过角度 后可与另一个向量正向重合（见图 5-8），则称 为向量a、b 的夹角，记 作a,b，即第五 章向量与空间解析几何a 的模相同，但方向相反的向量叫做a 的负负向量向量，记作a.对于一向量与一轴的夹角,可将其中一轴看作是向量，按两向量之间的夹角 来度量,对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.1、向量的投影及投影定理已知两向量a，b，如果它们的夹角 0 或 ，称这两个向量平行，记 为a/b，其中两个向量指向一致时 0；指向相反时 ，指 向 相 同 的 两个 平行向量a、b 如果还满足 a b，那么这两个向量相等相等，记为 a b .已与向量14第五 章向量与空间解析几何通过空间
9、一点 A 作u 轴的垂直平面（见图 5-9），该平面与u 轴的交点 A称 为点 A 在u 轴上投影投影.1、向量的投影及投影定理图5-9AAu15第五 章向量与空间解析几何图5-10注注 值 AB 是指其绝对值等于 AB 的 长度，即 AB，符号由 AB 的方向决定 当 AB 与u 轴同向时，取正号；当 AB 与u 轴反向时，取负号.1、向量的投影及投影定理如果向量 AB 的始点 A 与终点 B 在u 轴上的投影分别为 A、B（见图 5-10），则 u 轴 上 的 有 向 线 段 AB 的 值 AB 称 为 向 量 AB 在 u 轴 上 的 投投 影影，记作 Pr ju AB AB，u 轴称为
10、投影投影轴轴.AABBu16第五 章向量与空间解析几何定定理理 1向量 AB 在u 轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量 AB 的夹角的余弦，即Pr ju AB AB cos.证证将向量 AB 的始点置于 u轴（见图 5-11），则由直角三角形关 系得图5-111、向量的投影及投影定理 BBA Au u Pr ju AB Pr ju AB AB cos.17第五 章向量与空间解析几何当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投 影为负;成直角时，向量的投影为零（见图 5-12）.c1、向量的投影及投影定理abu图5-121819第五 章向量与空间解析几何定定理理 2两个向量
11、的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和.证证设点 A、B 和C 在轴上的投影u分别是 A、B和C，则Pr j AB AB，Pr jua1 Pr jua2 Pr juan Pr ju a1 a2 an .证证证明留作习题.图5-131、向量的投影及投影定理定定理理 3：Pr ju a Pr jua.Pr ju BC BC，Pr ju AC AC，由于无 论 A、B和C 在轴上的位置如何，总有 AB BC AC，故Pr ju AB Pr ju BC Pr ju AC，见图 5-13.本性质可推广到有限个向量的情形：BCCBAAu20第五 章向量与空间解析几何2、向量在坐标轴上的分向量与向量的
12、坐标以共起点向量 a、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 a+b，见图 5-14.以 a 向量的终点为 起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差.见图 5-15，记为 a b a+(b).图5-14图5-15OAB CbaBOACba21第五 章向量与空间解析几何设 是一个数，向量 a 与数 的乘积a 规定为当 0 时，a 表示一向量，其大小 a a，方向与a 同向；当 0 时，a 0 是零向量；当 0 时，a 表示一向量，其大小 a a，方向与a 反向（见图 5-16）.特别地，当 1时，1a a.图5-162、向量在坐标轴
13、上的分向量与向量的坐标a2a1 a222第五 章向量与空间解析几何由数乘的定义很容易得到以下结论（见图 5-17）：1如果两个向量a，b 满足b a（是数），则a/b；反之，若a/b 且a 0，则 b a .2若记e为非零向量a 的同向单位向量，则e a(证明留作习题).aaa图5-172、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标eaab=a23第五 章向量与空间解析几何例例 3 设 P1 、P2 为u 轴上坐标为u1，u2 的任意两点，又e 为与u 轴正向一致 的单位向量（见图 5-18），则有 P1P2 u2 u1 e.u2 u1 0证证当时，1 2P Pe12与同向，故 PP e 0，由1 P
14、 P1 2u2 u，当u2u2 u1 0当时，1 2PPe与反向，图5-182、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标eP1P2u1u2u因此P1P2 u2 u1 e；u1 0 时，P1P2 0，u2 u1 e 0，因此 P1P2 u2 u1 e；12故 PP 0e，由12 PP u u，12121221因此 PP e u ue u u e.24第五 章向量与空间解析几何设空间有一向量 a M1M2，其中 M x1,y1,z1、M x2,y2,z2 由加法定理可知 a 可分解为三个分别平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的向量ax、ay 和az，它们称为a 在 x轴、y 轴和 z 轴的三个分向量分向量
15、.显然a ax ay az.见图 5-19.图5-19zz2azz1M1aM2x2xaxy1ayy2yx1ijkO2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五 章向量与空间解析几何而Pr jxa Pr jxax x2 x1 ax，Pr jya Pr jyay y2 y1 ay，Pr jza Pr jzaz z2 z1 az,若用i、j 和k 分别表示与 x 轴、y 轴和 z 轴正向一致的三个单位向量称它 们为基本基本单单位向位向量量，则有ax x2 x1 i，ay y2 y1 j，az z2 z1 k,因此a ax ay az x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k axi ay j a
16、z k，称上式为向量a 按基本基本单单位向量的分解位向量的分解式式或a 的向量表示向量表示式式.2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标25第五 章向量与空间解析几何一方面,从向量a 可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影ax，ay 和az，另一方面从ax，ay 和az 可以唯一定出向量a，这样有序数组 ax，ay，az 就 与向量a 一一对应，于是将ax，ay，az 称为向量a 的坐标，记为a ax,ay,az 也称向量a 的坐坐标标表示式表示式.262、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标27第五 章向量与空间解析几何以M x1,y1,z1 为始点，M x2,y2,z2 为终点的向量记为M1M2 x2 x1,y2 y1,z2 z1 ,2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标图5-20yykrON特别向径r OM x,y,z（见图 5-20）.z zMixxj第五 章向量与空间解析几何对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算:设向量a ax,ay,az ，b bx,by,bz，a b ax i ay j az k bxi by j bz k ax bx i ay by j az bz k ax
