《导学案-微积分基本定理学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导学案-微积分基本定理学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6:微积分基本定理(导学案)学习目标1、 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并 能正确运用基本定理计算简单的定积分.教学难点：了解微积分基本定理的含义.一、自主学习：1. 定积分的定义： ,2. 定积分记号：思想与步骤几何意义.12b3用微积分基本定理求定积分 X21 dx二 kx dx二二、新知探究新知1:微积分基本定理：1 3 2 1背景：我们讲过用定积分定义计算定积分，但如果要计算x3dx ,-dx其计算过程
2、比较复杂，所以不、07 x是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。探究问题1：变速直线运动中位置函数 S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为 S(t),速度为v(t) (v(t)亠0 ),则物体在时间间隔T1,T2内经过的位移记为S，则T2一方面：用速度函数 v(t)在时间间隔Ti,T2求积分，可把位移 S=s二.v(t)dtT1另一方面：通过位移函数S (t )在T, ,T2的图像看这段位移S还可以表示为S(T1) - S(T2)探究问题2：位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为S(t)二v(
3、t)上述两个方面中所得的位移S可表达为T2T v(t)dt S(T1)-S(T2)T1上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用f(X)的原函数(即满足F (x) = f (x)的数值差F (b) - F (a)来计算f (x)在a,b上的定积分的方法。定理 如果函数F(x)是a,b上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。例1 .计算下列定积分：0x2dx
4、二:丄dx 二：(2x )dx01 x1 x结合前面所学求下列积分：1)(CA-) = (7 I CZV =%氐=3) (sin = cos x I cos .Vv =jS寸亠f a4) (cos = sill sin .vt/v = jg1 -3)mW = 一一心=6) j = M & 孑心=7) (小=X 112 I f 品= 计算下列3个定积分：2 二sin xdx, sin xdx。兀Lo例3.sin xdx,o由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积解释所发现的结论。、 H思考：问题1 ：求sin xdx =，Jq o sinxdx的几何意义？ 当对应的曲边梯形位于x轴上方时
5、，定积分的值取 值，且等于面积;1y=sin x6 wk-1a.*问题2 :求sin xdx =it2 ji sin xdx的几何意义？Tt.值，且等于面积;当对应的曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值取2 jy问题3：求,； sin xdx二2応sin xdM几何意义?当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于 且等于面积.x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为问题4:可以发现，定积分的值可能取 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分:們 si nxdx =若 f (x) = 2x 0 -x :：1 求:f (x)dx 二51 x 1,贝V a 的值为1xA.6B o 4Co 313. 0|2x
6、 4 | dx =21222325AB.C.D.3333gtoB. gtoC.曲线y =x2与直线y = x 2所围成的图形（阴影部分）的面积等于（提高）：如图，阴影部分的面积是（）A . 2 3B. 9 - 2332一 3c35一 3D.课后练习一：用微积分基本定理求简单函数的定积分i 2二1、 o x dx2、/cos2xdx4、f（x2- 2x）dx;:用微积分基本定理求分段函数的定积分5.(4 2x)(4 x2)dx;3、e2xdxJ02 x2 + 2x 36.dx.ix7.设 2lx (0 兰x ci) f(x)二 c 彳I2X。20 f(x)dx等于(A.3-B.4C.不存在A.9、|x|dx等于(ixdx B.-iidx-iC.o(-x)d x +-iixdx0iD.xdx +( x)d x-i0:利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义计算定积分 dxLi6(2x 4)dx2x 1,x-2,2 丨 宀丄四（提咼）：已知f x二2当k为何值时,f x dx40成立1 +x ,x （2,4
