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1、习题一(P13)2.设a(t是向量值函数，证明:(1)(2)(1)(2)补充:常数当且仅当/ a(t ), a, (t0 )a(t的方向不变当且仅当 a(t ) a (t) 0 。证明：a 常数a(t),a(t )常数(t ),a(t) a(t ),a (t)a(t),(t) 0a(t),a (t)0 。注意到:a(t,0所以a(t的方向不变若单位向量e(t )单位向量e(t)a(t)常向量:a(t)a(t )a(t )常向量。则e (t)0e(t ) e (t ) 0。反之，设 e(t为单位向量，若 e(t ) e (t)由e(t为单位向量从而所以e(t ), e(t 1 e(t则 e(t
2、) / /e o(t ),e (t 0) e(t) e (t。)e(t ) / /e 由e(t ) e (ta(t的方向不变e(t) e12a(t)a(t ) a(t(te (t ) 0e(t)常向量。)0a(t)a单位向量a(ta(te(t ) 常向量a(t )a (t) d (1 )a(t ) 0)a(t) dt a(t)(t )0。(ta(t的方向不变当且仅当一 ()a(t ) a(t) 0 dt|a(t) a(t )a(t) a (t )0。定理r (平行于固定平面的充要条件是r (t),(r), r (t 0。证明：若r (t平行于固定平面，设n是平面的法向量，为一常向量。于是， r
3、 (t ), n0 r (t ), n 0, r (t ), n 0r (t ), r (t共面(t) r (t),(r), rt ) 0。:若 r (t ), r (t) ),0 r 则 r (t ),(tr, (t共面。若 r (t ) r (t)0则r (t方向固定，从而平行于固定平面。若 r (t r (t) 0，则 r (t) r (t) r(t )令 n(t) r (t )r (t 则Jn (t) r (t ) r (t)r (t)r (t )r (t )r (t )r (t ) (t)r (t) (t )r ( t)(t) r (t )r (t)(t) n(t)，又n(t ) n
4、 (t ) 0 n(t) 0n(t有固定的方向，又n(t ) r (t)r(t平行于固定平面。3.证明性质与性质。性质（1）证明：设V1X，x，3x)，2v( y, y , 3y ),3v(zi，z，3Z )，2v 3 v (w 明，w )，yyyy2y,3,iy23Z2z3z3ziizz2ky1z3w12 Sy3 z2 ，2左二V(v2V3 )1xiX2 w3x2 - y z-y3 ziJX2wiw23X2X3，X1X x 1 x2wwwwww3233112w yiz2 * z，xwX2W1i X 皆 2X3 w2，3Xwi Xiw3y2 z 3X yx3 改y 2 x，XMi z ，3 -
5、x yz x3 y iz -3xz xi3 % 品 y- x y x3 气 y，- 3X23 xi ? 2y，i % 秘 z 3y 崟呛 izX W，3 z X1 z 2 X 2y，1 z X2 z2 xi y_ x2 y : 2z，-X zi X2 z2V1，V v23 为 xi y 1 y 2y，3y M yX3 为 X1 yV V3右vi（2 ）证明：设viV1V2XiYi左二XiX2X3X2y2% z ，i X3斗 y气 2仅y气z，ixi x2 z 以1&NX3z3-1毛 iz， 2z，X23zx3 y以砂），2V y，2 y），3V （ z，2z z ），4v（ wi，w，w ），
6、则X11yi.1.Jkz1z2zw1w2w.2w3z3w233yiz2w2V2，3V V4)(2 多 z3w23w33w3iwiiwiz2w2丫1，丫2，%ziw3，YX2Y2z3wi ：X】Yi)间xizw12 z2 %X3Y3y )(3 z ziw3邛3 y W2 电 z yiwix3z3 xi z y 叫-X w2-(1X y1ziwi x2 土 攻 w2 X3 为钟3-(ix y_zi W1X2 为(移1 X2攻X3Xiziy2W2yiwi x z%3z3 y2 切 铲3 yiz1X3w3 X1z1y3w3) 2zX2 y3 如 w2 X3 *z3w3)2w2 为 气)(iwiy2w2
7、 y3 w3)w3 *2w2 x zyiwix3 气xiziy3w3 xi z y w yiwix2 ziV， 3VV24 VV1，4/V2 V3z3 y2 z2X3w 3 yi zi X3w 3 1 w1 x2w 2 X3 w3 )(1纽 右xiwi 夔3 xiwiy2 切 yizi x 性 y2z2y3 勺 )（3）证明：设Vi（x，2x，3x ），2v（ y，2y，3y），3 v （ z，2，3 ），贝U1x1y1X1 x2 yV3，必V1V2.jkx2x3x2y2x3z1 (x y x3 为)(Z2 y *z2 耳V3，1 V v22Z(x1】同理，x3y311x3y3x1yix1 x
8、2y1y2.1.jkzZZzZ1Z2Zc七3Z23J1Z2x1x2XiJx2x3x3x1x1x2丫1，丫2，为Z2 x，V，1V v2(2 Z Z3x2 )(Z2 y yq 耳Y1V2y (2籍z3Z3 xV12y( * 斗 Z1)，3VZ1电yM)3 Z1x2 Z2 气 y2Y23 y(1x2x111z x x1z2 y3Z2斗)y1 x zZ1v1，x1 (2yz(Z2 y1y1Z1y zjyZ2ykyZ3如，y2Z2y3z3yy1Z3Z1%ziy2z2所以，性质证明：（i）V1，y y3 z) %1z2 耳y3Z1V3 2x( 3z %1z3 x1 土 4)*x1Z1)y zZ3f(，x
9、Z ，3Z y1 2x2Z2 x33x( 1Z2y Z)( Z冬x1处V2，3 V1 V.1.jkxyzfffxyzf，_l)y zy2fxx zf22f证明:(2)(0,0,0)0.4.设 O；(2)(1 )证明:y zy xz x是正交标架，是12)，e是正交标架；与。；e ,e ,e(1)(2)j时，(i )(j )x zz yO； e , e,e3当1j时,2,3的一个置换，证明:e，eR2 -定向相同当且仅当e (i ), e j ) 0 ；O； e(1),所以(i )(j)(2)证明:A)当O；ei)，e(3)(12)2,(i是正交标架。(2)1, (3)0.是一个偶置换。e,(1
10、)2),ee1 ,2e , 3e01010000101000(3)e2 , e e01,det011；B)当(13)(1) 3,(2)2, (3)1e,e ,e001001(1)(2)(3)e 3 , 2e , 1ee1 ,2e , 3e010,det0101；100101C)当 (23)(2) 3, (3) 2, (1) 1e , e(2)e1 ,3e,e2e1 ,e2 , 3eD)/ 、/，此时, (12)(12)E)(123)(12)(13)O； e(1),e (2)2,e , e(2)(3)e 2 , 3e , 1eF)(132)(13)(12)3,e , e(1)(2)(3)e3,00100001 ,det0011;10010,eO;e1,e2,e ；3,(3)1,
