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1、1、在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标解：(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求2、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点
2、的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M
3、的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4、(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：
4、(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1
5、)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.6(2018洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2(y2)24.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin5，射 线OM：与圆C的交点
6、为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)将xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin .(2)设P(1，1)，则由解得12，1.设Q(2，2)，则由解得25，2.所以|PQ|213.7在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点
7、的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)8(2018福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为(x2)2y24，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：(0)，A(2,0)(1)把C1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求APQ的面积解：(1)因为C1的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的极坐标方程为24cos 0，即4cos .(2)依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.将代入4cos ，得12，将代入2sin ，得21，所以|PQ|12|21.
8、依题意，点A(2,0)到曲线(0)的距离d|OA|sin 1，所以SAPQ|PQ|d(21)1.9(2018贵州适应性考试)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为4cos ，曲线C2的极坐标方程为cos2sin .(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|OB|的取值范围解：(1)由曲线C2的极坐标方程为cos2sin ，两边同乘以，得2cos2sin ，故曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)射线l的极坐标方程为，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|4c
9、os ，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|，|OA|OB|4cos 4tan .，|OA|OB|的取值范围是.(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为 (为参数)(4)双曲线1(a0，b0)的参数方程为 (为参数)10、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的
10、普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a16.综上，a8或a16.2结论要记根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦M1M2的中点t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.11(2018湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为(
11、t为参数)，直线l与曲线C： (为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|PB|的值解：(1)由曲线C： (为参数)，可得曲线C的普通方程是x2y21.当时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t26t160，得t1t26，所以线段AB的中点对应的t3，故线段AB的中点的直角坐标为.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2sin2)t26cos t80，则|PA|PB|t1t2|，由已知得tan 2，故|PA|PB|.12(2018石家庄质检)在平面直角坐标系xOy
12、中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和PAB面积的最小值解：(1)由消去参数t，得(x5)2(y3)22，所以圆C的普通方程为(x5)2(y3)22.由cos，得cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，)，B，设点P的坐标为(5cos t,3sin t)，则点P到直线l的距离为d.所
13、以dmin2，又|AB|2.所以PAB面积的最小值是S224.13、在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点P的极坐标为，曲线C的参数方程为(为参数)(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：cos 2sin 10距离的最小值解：(1)由xcos ，ysin ，可得点P的直角坐标为(3，)，由得x2(y)24，曲线C的直角坐标方程为x2(y)24.(2)直线l的普通方程为x2y10，曲线C的参数方程为(为参数)，设Q(2cos ，2sin )，则M，故点M到直线l的距离d1，点M到直线l的距离的最小值为1.14、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2
