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1、刷题小卷练33直线与圆锥曲线的综合小题基础练一、选择题1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定答案：A解析：通解将直线ykxk1与椭圆1联立，整理得(49k2)x218k(1k)x9(1k)2360，则18k(1k)24(49k2)9(1k)236144(8k22k3)0，所以直线与椭圆相交优解因为直线ykxk1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交2已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A B或C D答案：B解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21得，(4k2)x22kx50
2、，则4k24(4k2)50，解得k20)恒有公共点，则m的取值范围是()A3，) B(，3C(3，) D(，3)答案：A解析：直线ykxk1恒过定点(1，1)因为直线ykxk1与曲线C：x22y2m(m0)恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点(1，1)在椭圆内或椭圆上，所以122(1)2m，所以m3，故选A.42019宁波九校联考(二)过双曲线x21(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案：C解析：由题意可知，左顶点A(1,0)又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为yx1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则
3、b1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为ybx，ybx，所以可得xB，xC.由2，可得2(xBxA)xCxB，故2，得b2，故e.52019浙江八校联考(二)抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则()Ax3x1x2 Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x10答案：B解析：由消去y得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2，令kxb0得x3，所以x1x2x1x3x2x3.故选B.62019长春检测椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A BC D答案
4、：A解析：设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x9y144,4x9y144，两式相减得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又x1x26，y1y24，k，代入解得k.故选A.72019福建福州外国语学校适应性考试已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2，抛物线yx2与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.1 B.1Cx21 D.y21答案：D解析：由题意可得c，得a2b25，双曲线的渐近线方程为yx.将渐近线方程和抛物线方程yx2联立，可得x2x0，由渐近线和抛物线相切可得40，即有a24b2，又a2b25，解得a2
5、，b1，可得双曲线的方程为y21.故选D.82019唐山市五校联考直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A3 B2C. D.答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入双曲线的方程，得两式相减得0，又所以，所以kOMkl1，所以e212，所以e，故选D.二、非选择题9若直线yxb和曲线4x2y236有两个不同的交点，则b的取值范围是_答案：解析：联立直线方程和曲线方程，消去y得，x25bxb2360，由直线和曲线有两个不同的交点，所以25b29(b236)0，解得b.
6、10直线xy10与抛物线y24x交于A，B两点，过线段AB的中点作直线x1的垂线，垂足为M，则_.答案：0解析：设A(x1，x11)，B(x2，x21)，由得x26x10，则x1x26，x1x21，故AB的中点C(3,2)，M(1,2)，又(x11，x13)，(x21，x23)，所以(x11)(x21)(x13)(x23)2x1x22(x1x2)100.11已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为_答案：解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A
7、(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x20，则x1x2，x1x21，1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|BF|2，故1.设|AF|a，|BF|b，则1，所以|AF|4|BF|a4b(a4b)59，当且仅当a2b时取等号，故a4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x112(x21)，联立得， x12，x2，k2，故直线AB的倾斜角的正弦值为.122019广东揭阳一中、汕头金山中学联考已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.答案：解析：根据抛物线的定义得15，所以p8，所以m4.由对
8、称性不妨取M(1,4)，A(1,0)，则直线AM的斜率为2，由题意得21，故a.课时增分练一、选择题1已知抛物线y216x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|BM|，则直线l的方程是()Ay8x15 By8x15Cy6x11 Dy5x9答案：B解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，代入抛物线方程得y16x1，y16x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)16(x1x2)，即，又y1y22，所以kAB8，故直线l的方程为y8x15.2直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l
9、过定点()A(3,0) B(0，3)C(3,0) D(0,3)答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xmy3，所以直线l过定点(3,0)3若直线xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，则m的值为()A B2C1 D答案：C解析：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(0)，x0m，y0x0m2m，点M(x0，
10、y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，m1.4已知椭圆C：1的左、右顶点分别为M，N，点P在椭圆C上，且直线PN的斜率为，则直线PM的斜率为()A. B3C. D2答案：B解析：由题意知M(2,0)，N(2,0)，又直线PN的斜率为，所以直线PN的方程为y(x2)，代入椭圆C：1可得13x24x440.设P(x0，y0)，则x02，解得x0，y0，故直线PM的斜率k3，故选B.52019太原模拟已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则()A0 B1C2 D2p答案：A解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则(0,0)，故y
11、1y2y30.，同理可知，0.6已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：B解析：将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得a2b29.又由椭圆的离心率为，所以，则，解得a25，b24，所以椭圆方程为1.72019天津红桥区月考已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3答
12、案：C解析：因为双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线方程是yx.又抛物线y22px(p0)的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y.因为双曲线的离心率为2，所以2，所以3，则，A，B两点的纵坐标分别是y.又AOB的面积为，x轴是AOB的平分线，所以p，解得p2.故选C.82017全国卷已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14C12 D10答案：A解析：因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.二、非选择题92018北京卷若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.答案：4解析：由e知2，a216.a0，a4.102019沈阳监测已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点
