《“归一法”及其在初中数学中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“归一法”及其在初中数学中的应用（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“归一法”及其在初中数学中的应用 上海市华东师大一附中实验中学 何 鋆教，要有一个原则；学，要有一个方法。教师要教学生学会学习，如果能使学生学会一种方法，从而激发学生学习的兴趣，主动地学习，这样有利于学生素质的提高，对学生的一生都有帮助。现实世界中有很多问题需要人们去解决，然而有些问题可以转化为数学问题，如何教会学生去解决数学问题是非常重要的。数学学科是一门基础学科，它的分支很多，解决问题的方法也很多，学生要学会用各种不同的方法去解决各种不同的问题。能不能提出一种方法，这种方法既好记、好用，又能找到解决问题的思路，从而迅速、正确地解决实际问题呢？通过长期的教学实践，笔者设想了一种方法，把它称为
2、“归一法”，这种方法好记、好用，能解决很多实际问题。一、 为什么要提出一种方法学生进入初中以后，接触到的数学知识增多了，并且知道了数学学科有代数、几何，到了高中还有要求更高的代数、三角、立体几何、解析几何和微积分，这么多的知识能学好吗？各种不同的分支，各种不同的问题要用各种不同的方法解决，能行吗？如果一开始就提出学好数学只要学会一种方法就行了，并说明这种方法能解决很多各种不同的问题，这样可以在学生心理上产生一种学好数学的自信性，所以提出一种方法是有好处的。二、 什么是“归一法”数学的实际问题很多，首先要把解决的问题归结到一种类型的问题。在具体解决问题中会接触到一些数字、变量和图形，解决问题还要
3、进行推理，还要有一种思路。“归一法”就是用较小的数字、较少的变量、较简单的图形，用合理的推理来解决数学问题的一种方法，学会了“归一法”，对于解决数学问题就能找到一条正确的思路，特别对于学生的主动学习有很大的帮助。三、“归一法”的规则在解决具体数学问题中，可以运用的“归一法”的具体规则如下：“宁小不大”、“宁少不多”、“宁同不异”、“宁直不间”、“宁简不繁”。说明：如果在解决具体问题中出现了矛盾，以宁简不繁为主。四、“归一法”的特点1、顺口好记，且有开放性，规则部分，遇到具体的数学问题时，可以根据相对性原理自行添加，如：“宁正不负”、“宁加不减”、“宁单不复”、“宁清不混”等；2、掌握的技巧是学
4、会“转化”，如：把“大”转化为“小”，把“多”转化为“少”，把“异”转化为“同”等。3、便于检验找错，使学生学会迅速、合理、正确地解题。4、可运用于数学和其他学科，学生学会了“归一法”，对总体素质的提高有很大的帮助。五、“归一法”的运用举例例1、 计算：解：原式= = = = =115说明：本题根据“宁小不大”的规则，利用数的分解和提取公因数的方法来解题，因而计算比较简单。例2、已知：ABC中M为 BC的中点，R为CA的延长线上的点，RPAM，交BC于P点，交AB于Q点。 R求证：PQ+PR=2MA 证明： RPAM A ， Q M为BC的中点 BM=MC B P M C PR+PQ=2MA
5、说明：本题根据“宁同不异”的规则，把所有的比转化到同一条线段BC上，利用BP、PC，BC、BM、MC的关系得证。例3、已知：ABC中，B=45，COSA=，一条边（不是最长边）上的高为。求：BC的长 解：分析：过C点作CEAB，交AB于E COSA=，设AE=4m，则AC=5m 由勾股定理得CE=3m，得CEAE，AACE 由A+ACE=90，A90 即ABC是钝角三角形，AB最长。 解：（1）设：一条边上的高为BC上的高AD， 过C点作CEAB，交AB于E COSA=，设AE=4m，AC=5m 由勾股定理得CE=3m B=45，得EB=3m AB=7m，BC=m ADBC，B=45 AB=A
6、D=6,即7m=6，m=BC=m=解（2）设一条边上的高为AC上的高BD过B点作CDAB，交AB于D，COSA=，设AE=4m，AC=5m由勾股定理得CE=3m，B=45，得EB=3m AB=7m，BC=m CEAB，BDAD, A公用rtAECrtADB 得，则 BD= A BD=，=，m= E BC=m= B D C 说明：本题根据“宁少不多”的规则，按照不同的情况进行讨论来求出结果的。例4、已知：如图，AB为O的直径，过A、B分别作AD和BE二弦交于C点。求证：ACAD+BCBE=AB2证法1分析：如果连接AE、BD，再过C点作CFAB，垂足为F点，此时，AB分为两条线段。把AB2写成A
7、B（AF+FB），得ABAF+ABFB，这样，在形式上与结论的左边相同，再用化乘积为比例，由比例找三角形和证明三角形相似，即可得证。证明：连接AE和BD，过C作AB的垂线CF交AB于F（如图）AB是O的直径 EADBD D 又DAB为公共角 CRtAFCRtADB A O F B ACAD=ABAF 同理RtBCFRtBAE BCBE=ABBF + 得ACAD+BCBE=ABAF+ABBF=AB2说明：本题的证法根据“宁同不异”的规则，利用形式相同来证明的。证法2分析：如果连接AE和BD，利用AB分别和两个直角三角形的关系，找出AB和有关线段的关系，可以得证。证明：连接AE和BD AB是O的直
8、径 E=D=90由勾股定理得 E D同理可得 A O B 由+ 得 说明：本题的证法根据“宁少不多”的规则，在两个直角三角形中分别找出AB与有关线段的关系来证明的。例5、已知：ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，ADBC，垂足为D。求：AD的长解：设BD=x,则DC=14-x，由ADBC，得ADB、ADC均为Rt.由勾股定理得 A152-x2=132-(14-x)2，即 225-x2=169-196+28x-x228x=252x=9 B D C 说明：本题如果用“宁直不间”的规则来做就比较繁，但是用间接设未知数和“归一法”的原理产生了矛盾，此时，就以“宁间不繁”为主。例6、解方程：解
9、：由原方程可得：设：，（1） 若，则可得；（2） 若，则可得由（1）、（2）可得；或，经检验，均为原方程的解。说明：本题利用，找到“同”，再利用“分母有理化”的方法，根据“宁同不异”的规则得解的。另外，本题在解的过程中，要注意讨论，不能遗漏的情况。例7、已知；一个窗框如图，它的上方为一个半圆，下方为一个长方形，若窗框的周长为分米，半圆的半径为分米，窗框的面积为平方分米，（1） 试写出与的函数关系式 （2） 当的值为多少时，有极大值 解：（1）设：，则半圆弧长为， ， 则可得 （2）由当时，。即当时，有极大值平方分米。说明：本题根据所有的线段都与有关，利用二次函数的关系式中的配方法，根据“宁同不异”的规则得解的。
