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1、2017届湖南长沙一中高三月考（五）数学（理）试题一、选择题1已知复数满足，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，复数，所以的共轭复数是，故选A.【考点】复数的运算.2已知集合，则（ ）A-3，-1 B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意得，集合或，集合，所以或，故选B.【考点】集合的运算.3下列命题中，为真命题的是（ ）A.,使得B.C.D.若命题：，使得，则：，都有【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题与存在性命题的关系可知，命题：，使得，则：，都有，故选D.【考点】命题的真假判定及应用.4在中，“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必
2、要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.【考点】正弦定理与倍角公式.5如图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，是圆周内的点的次数，当大于时，圆周内的点的次数为，总试验次数为，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是，故选B.【考点】程序框图的应用.6将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余
3、的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（ ）A.5 B.8 C.8 D.10【答案】A【解析】试题分析：根据题意，得因为后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数，满足，可得，因此当后甲桶中的水只有升，即，即，所以，解得，经过，即，故选A.【考点】函数的实际应用问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象性质，指数恒等式的化简，对数式的运算性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题意，列出关于时间的函数关系式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.7已知函数是
4、偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，不妨设，则，因为函数是偶函数，所以，即，即，所以，即，故选C.【考点】函数的奇偶性的应用.8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据三视图得出，该几何体是镶嵌爱正方体中的一个四棱锥，正方体的棱长为为棱的中点，根据几何体可以判断，球心应该在过的距离为，所以，解得出，该多面体外接球的表面积为，故选D.【考点】空间几何体的三视图及几何体的性质.9已知是所在平面内一点，.现将一粒黄豆随机撒在内
5、，则黄豆落在内的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：如图所示，取的中点，连接，则，又点满足，所以有，可得三点共线且，即点为的中点时满足，此时，所以黄豆落在内的概率为，故选D.【考点】几何概型及其概率的计算.10设实数，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，则作出约束条件所以表示的平面区域，如图所示，当经过点时，目标函数取得最大值，当经过点时，目标函数取得最大值，即实数的取值范围是，又因为函数为单调递增函数，所以，故选A.【考点】简单的线性规划的应用.11已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲
6、线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.【考点】圆锥曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的
7、能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于表达式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.12已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.【考点】根的存在性及个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数
8、的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题13设，则展开式中的常数项为 （用数字做答）【答案】【解析】试题分析：由，所以二项式的通项为，令，则常数项.【考点】二项式定理的应用.14已知向量，满足，则向量在方向上的投影为 .【答案】 【解析】试题分析：由，可得，所以向量在方向上的投影为.【考点】向量的数量积的应用.15若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是 .【答案】【解析】试题
9、分析：由，则，且，又，所以切线方程为，即，又因为切线与圆相切，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以的最大值是.【考点】导数在函数中的应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数解题中的应用，其中解答中涉及到利用导数求解曲线上某点的切线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查两学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16数列满足，对任意，则的整数部分是 .【答案】【解析】试题分析：因为，所以，即，所以，所以的整数部分是.【考点】数列的求和问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到
10、数列的递推关系式的化简，数列的裂项求和，以及实数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中对数列的递推关系式灵活变形及裂项是解答的关键，平时朱玉方法的积累与总结，试题有一定难度，属于中档试题.三、解答题17如图，在中，角，,的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，为外一点，,求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由，化简得，从而得，即可求解角的大小；（2）在中，由余弦定理得，根据三角形的面积公式、，从而得到四边形的面积，再利用三角函数的图象与性质，即可求解四边形面积的最大值.试题解析：(1)在中，.有，则
11、即；，则（2）在中，.又，则为等腰直角三角形，,又，当时，四边形的面积有最大值，最大值为【考点】余弦定理；三角函数的图象与性质.18为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人（）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数 女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机
12、抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望参考公式与数据：，其中0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（I）列联表见解析，有的把握认为平均车速超过与性别有关；（II）分布列见解析，【解析】试题分析：（I）完成列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关，求出，即可判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（II）根据样本估计总体的死刑，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，驾驶员为男性且车速超过的
13、车辆的概率，可能是，则，求出概率得到分布列，然后求解数学期望.试题解析：（） 平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过与性别有关（6分）（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为可取值是0，1，2，3，有：分布列为0123（12分）【考点】独立性检验；离散型随机变量的分布列.19在等腰中，腰长为2，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，（）求证：平面；（）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由 【答案】（I）证明见解析；（II）【解析
