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1、插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义 在连续集合S（M包含于S）的未知连续函数，从而达到获取整体规律的 目的，即通过窥几斑来达到知全豹。简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,f n,通 过调整该函数中若干待定系数f（入1,入2,，入3），使得该函数与已知点集的 差别（最小二乘意义）最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者 线性回归（主要在统计中），否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表 达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通 过求解该
2、函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给 定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在 整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有 函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式 未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个（ 或几个分片光滑的）连续曲面来穿过这些点。一、概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用 l 机械制造：汽车外观设计l采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域(CT)2. 概念的定义l插值：基于a,b区间上的n
3、个互异点，给定函数f (x),寻找某个函数去逼近 f(x)。若要求e(x )在乂：处与f (xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题， xi即是插值点l 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数 较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法l 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件：二阶几何连续不存在多余拐点曲率变化较小l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续) 光顾二、插值理论设函数y=f(x)在区间a,b上连续，在a,b上有互异点x ,x ,，x处取值01 ny,y,，y。如果函数e(x)在点x上满足e(x)二y (i=0,1,2，,
4、n),则称e(x)01 nii i是函数y=f(x)的插值函数，x ,x ,x是插值节点。若此时e(x)是代数多项式01 nP(x)，则称P(x)为插值多项式。显然f(x) = e(x)，xG a,b1. 拉格朗日插值构造n次多项式P (x)= y l (x)=y l (x)+y l (x)+yl (x)，这是不超过nk k0 01 1n nn次的多项式，其中基函数l (x)二k显然l (x)满足l (x) =kk i此时 P (x)f(x),误差 R (x)二f(x)-p (x)二n n n其中 e (a,b)且依赖于 x, = (x-x ) (x-x )(x-x )0 1 n很显然，当n=
5、1、插值节点只有两个x,x时k k+1P(x)=yl(x)+y l (x)1 k k k+1 k+1其中基函数l (x)= l (x) =k k+12. 牛顿插值构造 n 次多项式 N (x)=f(x )+f(x ,x )(x-x )+f(x ,x ,x )(x-x )(x-x )+n001001201+f(x ,x ,x ,x )(x-x )(x-x )(x-x )012 n 01n称为牛顿插值多项式,其中(二个节点,一阶差商)(三个节点,二阶差商)(n+1个节点，n阶差商)注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项R (x)中n+1阶导n数的运算，用牛顿插值公式R (x)二f(
6、x)-N (x)二f(x,x,x)s (x),nn0 n n+1其中 x) = (x-x )(x-x )(x-x )n+101n3. 分段插值子区间内，避免函数在某些区间失真1) 线性插值已知n+1个不同节点X ,x ,x ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足01 nl p(x)在a,b上连续 l P(x)=ykkl P(x )在x,x 上是线性函数,P(x) =i i+12) 两点带导数插值-避免尖点、一阶连续区间a,b上两个互异节点x,x，已知实数y ,y ,m ,m ，为了构造次数不i i+1 i i+1 i i+1大于3的多项式满足条件引入 ,使之满足可以求出此时 = +，其中4
7、. 三次样条插值二阶可导对于给定n+1个不同节点x ,x ,，x及函数值y ,y ,，y，其中a=x 1n二b。01 n01 n0构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足：l S(x )在a,b上二阶导数连续l S(x)=y (k=0,1,，n)kkl每个子区间x ,x 上 S(x)是三次多项式(k=0,1，,n)k k+15. 例题已知函数y二f(x)的观测值X1234Y0)-5-63求三次插值多项式e(x)及氛解：(1)拉格朗日插值P(x)=yl(x)+yl(x)+yl(x)+yl(x)3 0 0 11 2 2 33=(-5) + (-6) +3 =x3-4x2+3
8、e(x)P (x)= X3-4x2+3 e=*+3二3(2)牛顿插值xif(x)i阶差商二阶差商二阶差商102-5-53-6-1243951N(x)=f(x)+f(x,x)(x-x)+f(x,x,x)(x-x)(x-x)+f(x,x,x,x)(x-x)(x-x)3001001201012301(x-x)2=0+(-5)(x-1)+2*(x-1)(x-2)+1*(x-1)(x-2)(x-3)三、Mat lab在插值中的应用1. Lagrange 插值1) 方法回顾对给定的n个节点x ,x ,，x及对应的函数值y ,y ,，y，利用n次Lagrange12 n12 n插值多项式公式，插值区间内任意
9、x的函数值y可以通过下式求出：2) Mat lab实现函数function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=;for k=1:np=;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endend s=p*y0(k)+s;end y(i)=s;end3) 例题的Matlab实现x=1 2 3 4;y=0 -5 -6 3;lagrange(x,y,2. Runge现象及分段线性插值1) Runge 现象Runge在本世纪初发现：在-1,1上用n +1个等距结点作插值多项式P
10、 (x),使 n其在个结点的值与函数y(x)=1/(1+25x2)在结点的值相等。但在nT时，插值多项式P (x)在区间中部趋于y(x)。但对于W|x|W1的x, P (x)严重发散。 nn通过下面的例子，以图形的方式体会Runge现象(f(x)=1/(1+x2)x=-5:1:5;y=1./(1+x.Sx0=-5:5;y0=lagrange(x,y,x0);%绘制图形 plot(x0,y0,-r)hold onplot(x0,y1,-b)2) Matlab实现分段插值维插值in terpll yi = i nterp1(x,y,xi)对(x,y)进行插值，计算插值点xi的函数值l yi = i
11、 nterp1(y,xi)默认x=1: n, n是向量y的元素个数l yi = i nterp1(x,y,xi,method)指定特定算法插值，method可以是如下字符串0 linear线性插值0 spli ne三次样条插值0 cubic 三次插值要求：x是单调，但不要求连续等距。如果x连续等距，可以选用快速插值法。调用函数时只需在method前加”*”， 如” *spli ne”3) 例题用一维线性插值解决Runge现象plot(x0,y2,*m) 正弦曲线的插值示例x=0:10;y=sin(x);xi=0:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,o,xi,yi)3.
12、 Hermite 插值1)方法介绍已知n个插值节点x ,x ,x及起对应的函数值y ,y ,y和一阶导数值12 n12 ny,y,y，则计算插值区域内任意x的函数值y的Hermite插值公式12n其中： ,/、 I ?2) Mat lab 实现function y=hermite(x0,y0,y1,x)n=length(x0);m=length(x);for k=1:myy=;for i=1:nh=;a=;for j=1:n厂.if j=ih二h*(x(k)-xO(j)/(xO(i)-xO(j)厂2;a=1/(x0(i)-x0(j)+a;endendyy=yy+h*(x0(i)-x(k)*(2
13、*a*y0(i)-y1(i)+y0(i);endy(k)=yy;end3) 例题如下数据表，构造Hermite多项式，并求出的近似值xSin (x)Cos(x)x0=;y0= ;y1= ;x=:;y=hermite(x0,y0,y1,x);plot(x,y)y=hermite(x0,y0,y1,;ysiny2=sin(x);hold onplot(x,y2,-r)4. 三次样条插值y3=interp1(x,y,x0,*spline);y3=spline(x,y,x0);plot(x0,y3,-g)四、 数据拟合1.方法介绍在实际生活中，往往需要从一组实验数据(x ,y )中寻找出变量x,y之间
14、的函数ii关系。由于观测数据不可避免出现误差，因此并不需要y二f(x)定要经过所有的点，而只要求在给定点x 上误差 i二f(x )-y按某种标准达到最小。通常用欧 ii i式范数llAl 2作为误差量度的标准。这就是所谓的最小二乘法。注意：数据拟合与插值的最大区别在于拟合需要给出一个曲线方程的具体解析形式，而插值只需求出该点的内插数值。1)线性拟合线性拟合以最简单的一次线性方程f(x)二ax+a拟合数据。按最小二乘法，a ,a1 0 1 0需满足 最小，因此可以通过 求出此时的a1,a02)超定方程的解法求解方程Ax=b，其中A为m*n阶矩阵，x(1: n)，b(1:m)均为列向量，且mn。由 于该超定方程个数多于未知数个数，当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时无解。现在求其最小二乘解，它就是使余向量r =b-Ax的谱范数|r | =(rTr)i/2最小xx 2 x x的n维向量。具体
