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1、运用观察、归纳和猜想解奥数内容摘要：观察、归纳和猜想是学习数学、研究数学的最基本的而又行之有效的方法之一，它能使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从特殊问题总结出一般规律，为解决问题提供一定的方向、依据。本人在多年的教学中，通过探索、研究，掌握了一些规律，下面通过实例加以阐述。一、由特殊到一般，进行类比例1（2008全国初中数学竞赛试题）观察下列图形，根据图（1）（2）（3）的规律，图（4）中三角形的个数为_。技巧安排：本题很有特色，其一是问题源于常规教材，体现了常规教学与竞赛教学之间密不可分的关系；其二实质是一个从特殊到一般的归纳推理的典型试题，要求我们通过观察进行归纳得到规律，提出合理猜想，
2、并予以验证。全解：通过观察已知三个图形，图（1）、图（2）、图（3）中有下列规律：在图（1）中，三角形的个数有：1+304=5在图（2）中，三角形的个数有：1+304+314=17在图（3）中，三角形的个数有：1+304+314+324=53因此，图（4）中三角形的个数有：1+4+34+324+334=161例2：（2006全国初中数学竞赛试题）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少
3、要剪的刀数是（ ）A、2004 B、2005 C、2006 D、2007技巧安排：从特殊图形、特殊数开始进行观察与试验（本题既可从特殊到一般，又可以从整体角度考虑，即每剪开一次，则各部分的内角和增加360），并在特殊情形中寻求启示，得到一些结果，再把特殊情形当作一面镜子，用类比思想，同一般情形进行对照，发现两者共性，从而解开疑团，理出线索，找到规律。全解：由题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360，于是，剪过K次后，可得（K+1）个多边形，这些多边形的内角和为（K+1）360。因为这（K+1）个多边形中有34个六十二边形，它的内角和为34（62-2）1
4、80=3460180，其余多边形有（K+1）-34=K-33（个），而这些多边形的内角和不少于（K-33）180，所以（K+1）3603460180+（K-33）180，解得K2005。当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论。先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形。再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到34个六十二边形和3358个三角形，于是共剪了：58+33
5、+3358=2005（刀），故选B。二、观察归纳猜想，分类讨论例3：（第十九届五羊杯）一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法？技巧安排：虽然归纳猜想的结果未能得到一次性的直接计算公式，但却得到了一个递推公式，依据这个公式，我们同样能够解得答案。所以，在这里对初始情况的研究，不仅是猜想一般性结果的重要素材，同时也是得出问题结论的必要步骤(从具体问题出发观察试验归纳猜想形成一般结论严密解答与论证)。全解：（由于台阶数较多，故我们先从简单情况入手）若只有1级台阶，则只有唯一迈法，则a1=1若有2级台阶，则有两
6、种迈法：一步一级地走，或者一步两级地走，a2=2。若有3级台阶，则有4种迈法：一步一级地走，第一步一级而第二步两级，第一步两级而第二步一级，一步迈三级，则a3=4。若有4级台阶，则按第一步迈出的台阶数分三类讨论：第一步一级，那么还剩3级台阶，根据前面的分析可知有a3=4（种）第一步两级，那么还剩2级台阶，根据前面的分析可知：有a2=2（种）第一步三级，那么还剩1级台阶，根据前面的分析可知，有a1=1（种）于是4级台阶迈法一共有：a4=a3+a2+a1=7（种）类似地，若有5级台阶，那么不同的迈法一共有：a5= a4+a3+a2=13（种）。一般地，若有n(n3)级台阶，那么不同的迈法一共有：a
7、n=an-1+an-2+an-3（种）从而a6=13+7+4=24;a7=24+13+7=44；a8=44+24+13=81；a9=81+44+24=149；a10=149+81+44=274。故上这个楼梯一共有274种不同走法。例4：（第七届华罗庚金杯）一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P；第二次将两个半圆圈的每一个分成两个相等的 圆周，在新产生的分点标上相邻两数和的 ；第三次将四个 圆周的每一个分成两个相等的圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的 ；第四次将八个 圆周的每一个分成两个相等的 圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的 如此进行了n次，最后圆周上的所有数字之和为17
8、170，求n和P的值各为多少？技巧安排：与上一例不同的是，本题的解答不但依靠递推式，还需导出包含初始值的关系式，但由于分式的特点经过约分变形后，公式形式并不繁琐。同时，在解题的最后，还运用了检验和分类讨论的方法，提高了试题的综合程度。全解：设第K次所标各数之和为SK，S1+S2+SK=TK（K=1，2，n）。因第K次所标的每一数均为其相邻两数和的 ，故SK= TK-1,TK=TK-1+SK= TK-1(K=2,3,，n)递推可得： Tn= Tn-1= Tn-2= T1= S1= P = 17170=2517101P只可能是2，5，17和101，代入检查得P=5，n=100为唯一的解。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。在解数学题时，需从特殊的、简单的、局部的事例出发，探求一般规律，通过观察、类比、联想，进而猜想我们未知的知识、结论，这种思考问题的方法就是观察、归纳和猜想。参考文献：1、全国金牌奥赛初中数学汇编 项昭义京华出版社 2008 2、奥林匹克竞赛教程马传衡 吉林教育出版社 2009
