§4.5 常用曲面的参数方程本节重点:掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系 掌握旋转曲面的参数方程的建立 掌握直纹面的参数方程本节难点:旋转曲面的参数方程直纹面的参数方程在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简朴曲面与曲线的参数表达，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程目前再简介旋转曲面、直纹面的参数方程，同步给出空间中此外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系一）旋转曲面的参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为轴，母线的参数方程是则此旋转曲面可由上每一点生成的纬圆所构成的由于这纬圆上动点与它在坐标面上的投影具有相似的坐标，因此上任一点生成的纬圆的参数方程是 其中是纬圆半径，即到轴的距离,而参数是轴到的转角设相应的参数是，则再让在其取值范畴内变动，即得这旋转曲面的参数方程 （４．5.1) 特别地，当母线为坐标面上的径线时,(4.5.1)成为 （4.5.2） 例１、如图,以原点为中心,为半径的球面可看作是由坐标面上的半圆， ()绕轴旋转所生成的,由（4．5.2)得其参数方程为 (4.５.3)它与§2.1中的球面参数方程的形式是相似的。
(4．５．3)中的参数分别叫做经度与纬度，序对叫做地理坐标显然,除两极外,球面上的点与序对一一相应这种运用曲面参数方程中的两个参数来表达曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用 运用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系设为空间任意一点，它到原点的距离为，过作以原点为中心，觉得半径的球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点P相应有序数组；反之,由非负实数可拟定所在的球面,再由在这球面上拟定点空间中点的这种坐标叫做球坐标显然，轴上点的球坐标可取任意值 把(４．5.3)中的常数换为变数，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即 (４.５.4）反之，有 (4．5．5)当时，＝0,于是,对坐标面上的点,只需序对即可拟定这里不是别的，正是人们熟知的极坐标这时原点是极点,轴是极轴,因此，球坐标可以看作是平面极坐标在空间中的一种推广 例2、如图4-１7，以轴为对称轴，半径为的圆柱面可看作是由坐标面上的直线： ，图4—17绕轴旋转所生成的由(４．5.2）得其参数方程为 （4.5．6） 运用参数可得圆柱面上的一种曲纹坐标,从而我们可引入空间的又一种坐标系。
设为空间任意一点，它到轴的距离为,过作以轴为轴，半径为r的圆柱面，则在这圆柱面上具有曲纹坐标，可令相应有序数组;反之,由非负实数可拟定所在的圆柱面，再由在这圆柱面上拟定点空间中点的这种坐标叫做柱坐标与球坐标同样,轴上点的柱坐标可取任意值 把(４．5.6)中的常数换为变数，即得柱坐标与直角坐标间的关系式 (４.5.7)反之,有 (4.5.8)当时,,从而面上的点也只需即可拟定，因此柱坐标也是平面极坐标在空间中的另一种推广像广义极坐标同样,柱坐标也可以推广到负值情形 在一种坐标系下,若让一种坐标固定而其他坐标变化,则所得轨迹叫做坐标曲面;若一种坐标变化而其他坐标固定，则所得轨迹叫做坐标曲线 例如在柱坐标系下,坐标曲面,（常数）是以轴为轴，半径等于的圆柱面；坐标曲面(常数）是过轴的平面(若限定,则轨迹为半平面);(常数)是平行于面的平面显然, 坐标曲线可看作是两个不同类的坐标曲面的交线,如坐标曲线,(叫做线）是圆柱面与面的平行面的交线,因而是位于平面上,中心在轴，半径为的圆 我们已经看到，用球坐标或柱坐标表达曲面或曲线，有时是比较简朴明了的但要注意,在不同坐标系下,同一方程也许表达不同的图形。
例如方程，在球坐标系下表达的是球面,而在柱坐标系下表达的却是圆柱面 (二)直纹面的参数方程 由于直纹面的母线是直线，因此其参数方程为其中是这直线上点的参数只由于直纹面是一族单参数直线构成的，族中母线是随着一种参数而变动的，即均为的函数，因此这直母线族方程可以写成 (4.5．9）其中为族的参数,一种值相应族中一条直母线当曲面看作是运点轨迹时，就是由所有母线上的点构成的，故(４．５.9）即为它的方程 令是,得直纹面上一曲线它与所有的母线均有公共点，可称为直纹面的导线 特别地,当分别为常数(即母线互相平行）时，直纹面(４.5．9)为柱面 (4．5.10) 而当分别为常数(即导线只含一点)时,直纹面(4.5．9)为锥面 (4.５.11)平面可以看作以直线为导线的柱面设一种平面通过定点平行于两个不共线向量,我们觉得方向向量,过引始终线为导线，觉得母线的共同的方向向量，则由(4.5.1０）得到平面的参数方程 (4.5．12) 例３、求以直线，为导线，母线平行于直线的柱面的参数方程 解：将导线方程改写成并取为参数,得导线的参数方程为 再将它和一同代入(3.５．１0)使得所求柱面的参数方程为显然，这柱面是个平面。
习题 4-5 1、求下列曲线按指定轴旋转生成的曲面的参数方程: (１) 绕Z轴旋转(2) 绕轴旋转 ２、已知径线的参数方程与旋转轴,写出旋转曲面的参数方程（1) 绕轴旋转（２) 绕轴旋转 3、一锥面觉得顶点,以椭圆为导线，试求其参数方程 4、运用直母线的方程,求单叶双曲面与双曲抛物面的参数方程 ５、设觉得参数的一族直线,试求： （１) 这族直线所构成的直纹面; （2) 这直纹面的参数方程; （3) 这直纹面的一条导线６、设直纹面有一条直导线,且母线平行于一种与导线相交的定平面，则此直纹面叫做劈锥曲面今以定平面为面,它与直导线的交点为原点,试求劈锥曲面的参数方程 7、试求球坐标系的坐标曲面与坐标曲线。