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1、卷一：温州中学自主招生模拟考试数学试卷一. 选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。）1. 已知x是无理数，且是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）是有理数；（2）是无理数；（3）是有理数；（4）是无理数并说它们中有且只有n个正确的，那么，n等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.42. 一个商人用m元（m为自然数）买来了n台（n为质数）电视机，其中有二台用成本的一半价钱卖给了某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果商人获得利润5500元，则n的最小值是（ ）A.11 B.13 C.17 D.193. 方程的整数解的组数为（ ）A.1 B.2 C.3 D
2、.44. 设ABC的三边长分别为，a,b,c互不相等，AD、BE、CF分别为ABC的内角平分线，且DEDF,那么BAC的度数为（ ）A.90 B.90 D.以上答案都不对5. 已知ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BDAC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，连结BF，G在BA的延长线上，使得DGBF，H在GF的延长线上，使得CHGF如果FBE=65，HFB=25，则FHC=( )A.65 B.55 C.75 D.406. 一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）. A.只有 B.只有 C.只有 D.只有和7. 已知关于的一元四
3、次方程有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.可能成立;可能成立;可能成立.A. B. C. D.8. 如图，四边形中,。设延长线交于，则( ) 数学试卷 第1页，共2页,A.18 B.21 C.24 D.30二.填空题（本大题共6小题，每题6分，满分36分。）9. 已知，且，则的最小值为_.10. 已知一个圆的外切四边形的4边长为1，2，3，4，其内切圆的圆心为O，则OAOC+OBOD的值为_.11. 甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/
4、h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要 _小时才能到达.12. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有_个.13. 凸四边形ABCD中,ABC60,BADBCD90, AB2,CD1,对角线AC、BD交于点O,如图.则sinAOB_.14.若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,则：_.数学试卷 第2页，共2页,班 级： 姓 名： 学号: 考场号： 座位号：装 订
5、线 内 请 勿 答 题卷二： 温州中学自主招生模拟考试数学答题卷一. 选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。）题号12345678答案二.填空题（本大题共6小题，每题6分，满分36分。） 9._; 10._; 11._;12._; 13._; 14._;三.解答题（本大题共5小题，满分74分）15.(本题满分10分)如图，设AB、CD是以O为圆心、r为半径的圆的两条互相垂直的弦，且将圆分成的四个部分(每一部分允许退化为一个点)依顺时针顺序记为X、Y、Z、W.试求的最大值。 数学答题卷 第1页 共4页16.（本题满分14分）如图,ABCD是O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AD
6、和BC相交于F,EP和FQ分别切O于P、Q.求证：EP2FQ2EF2.17.（本题满分15分）设是实数，对任意三个实数a,b,c存在一个以为三边长的三角形，求的取值范围数学答题卷 第2页 共4页18.（本题满分15分）设1a1a2an21是n个任意的整数.若其中总有4个不同的数a数ai、aj、ak、am满足ai+am=aj+ak(1ijk最大值 结论：18.（15分）解：(1)n=7时，1，2，3，5，8，13，21不满足要求，故n=7不是好数.(2)只须证明:对任意的8个整数1a1a2a821，其中总有4个不同的数aiajakam满足ai+am=aj+ak，即aj-ai=am-ak(1ijk
7、m8).首先，8个正整数可产生872=28个差aj-a(1ij8)，由于这8个数均为1至21之间的整数，因此，1aj-ai20(1ij8)，最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知，其中至少有8对差相等.(i)若这8对相等的差中，存在1对其中的4个数互不相同，即aj-ai=am-ak(1ijkm8).此时原题成立.(ii)若这8对相等的差中，每一对的4个数中至少有2个数相同，则这4个数中恰有2个数相同(因为aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立).于是，每对这样的差对应一个三元数组(ai，aj，ak)，且满足2aj=ai+ak(1ij(1ij8)，由于这8个数均为1至21
8、之间的整数，因此，1aj-ai20(1ij8)，最多只有20个不同的差值.故由抽屉原理知，其中至少有8对差相等.(i)若这8对相等的差中，存在1对其中的4个数互不相同，即aj-ai=am-ak(1ijkm8).此时原题成立.(ii)若这8对相等的差中，每一对的4个数中至少有2个数相同，则这4个数中恰有2个数相同(因为aj-ai=am-ak中至多有aj=ak或ai=am之一成立).于是，每对这样的差对应一个三元数组(ai，aj，ak)，且满足2aj=ai+ak(1ijk8).不妨设这8对差对应的8个不同的三元数组为(ai1，aj1，ak1)，(ai2，aj2，ak2)，(ai8，aj8，ak8)，其中，2ajl=ail+akl(l=1，2，8).由于a1与a8不能作为三元数组的中间项，故中间项至多有6种不同的取法.再由抽屉原理，知上述8个不同的三元数组中必有2个三元数组的中间项相等，不妨设为aj1=aj2.则ai1+ak1=2aj1=2aj2=ai2+ak2，其中，ai1、ak1、ai2、ak2两两不同(否则它们为同一个三元数组，矛盾).综合(i)、(ii)知，n=8是好数.19.（20分）解：观察数列开初的一些项：01234567891011121314151617181920111122233444556677888123468101316202428
