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1、第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面x = x(t) 设空间的曲线C由参数方程的形式给出：L = y(t) , t G (a,卩).、z = z (t)设t ,t G (a, P) , A(x(t ), y(t ), z(t )、B(x(t ), y(t ),z(t )为曲线上两点，A, B0 1 0 0 0 1 1 1的连线AB称为曲线C的割线，当B T A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.如果x二x(t)，y二y(t)，z二z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的.因为割线的方程为也可以
2、写为当B T A时，t T t，割线的方向向量的极限为h(t ), y(t ),z(t ),此即为切线的0 0 0 0方向向量，所以切线方程为x - x(t ) y - y (t ) z - z(t )0 = = x(t )y(t )z(t ) 0 0 0过 点 A(x(t0),y(t0),z(t0) 且 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 空 间 的 曲 线 C 在 点A( x(t o)，y (t o)，z (t o)的法平面，法平面方程为 如果空间的曲线C由方程为且 y(x ),z(x )存在，则曲线在点 A(x ,y(x ),z(x ) 的切线是o oo o o法平面方程为如果空间的
3、曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组确定时，假设在A(x , y , z )有J二F，G)丰0，在A(x , y , z )某邻域内满足隐函数 o o 0a(y, z)0 0 oAfF(x, y, z)二 0,组存在定理条件，则由方程组、八在点A(x , y , z )附近能确定隐函数 |G(x,y,z)二 00 0 0有 yo 二 y(xo),zo 二 z(xo),dx1 a (F, G) dz _1 a (F, G)J a(x,z) dx J a(y,x)于是空间的曲线C在点 A(x , y , z ) 的切线是000即法平面方程为类似地，如果在点A(x , y , z )有F，G)丰0或
4、F,G)丰。时，我们得到的切线方 0 0 05 (x, y)d (z, x)AA程和法平面方程有相同形式。所以，当向量时，空间的曲线C在A(X ,y ,z )的切线的方向向量为r000例6.32求曲线x二a cos0, y二a sin0, z二b0在点C a,0,b兀)处的切线方程.解当0=兀时，曲线过点C a,0, b兀)，曲线在此点的切线方向向量为C a sin0, a cos0, b|0=1，一 a，bl,所以曲线的切线方程为z - z(t0)x - x(t ) y - y(t )0 =00- ax + a _ y _ z -加即0-a b .二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程
5、为取P(x0, y0,z0)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P/x0，y0,z0)的某邻域内具有连续 偏导数，且 F 2( x , y , z ) + F 2( x , y , z ) + F 2( x , y , z )丰 0。设 c 为曲面 S 上过x 000 y 000 z 000P (x0, y0,z0)的任意一条光滑曲线：设 x = x(t ),y = y(t ),z = z(t )，我们有0 0 0 0 0 0上式对t在t = 10求导得到因此，曲面S上过P (x0, y0,z0)的任意一条光滑曲线c在P (x0,y,z0)点的切线都和 向量垂直，于是这些切线都在一个平面上，记
6、为a，平面a就称为曲面S在P (x ,y ,z ) 0000的切平面，向量n称为法向量。S在P (x , y ,z )的切平面方程是0000过点P (x ,y ,z )且与切平面a垂直的直线称为曲面S在P (x ,y ,z )点法线，它的0 0 0 0 0 0 0 0方程为设曲面S的方程为若F(x,y,z)在 S 有 连 续 偏 导 数 且F2(x , y ,z ) + F2(x , y ,z ) + F2(x , y ,z )丰0，则称S是光滑曲面。由上面讨论可x 000 y 000 z 000以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面S的方程的表示形式为z = f (x,y)，这时，容易得到S在
7、P (x ,y ,z )的切 0000平面方程为法线方程为我们知道，函数z二f (x, y)在点(x0,y0)可微，则由Taylor公式知f (x,y)-f (x ,y ) = f (x ,y )(x-x ) + f (x ,y )(y- y ) + 0Q(x-x )2 + (y- y )2)00x 000y 00000也就是说，函数z二f (x, y)在点(x , y )附近可以用S在P (x , y , z )的切平面近似代0 0 0 0 0 0替，误差为机x- x )2 + (y - y )2的高阶无穷小。H 00若曲面 S 的方程表示为参数形式设 x = x(u ,v ),y = y(
8、u ,v ),z = z(u ,v )，P (x , y ,z )为曲面上一点。假设 在0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0P (x , y , z )有J二竽詁 丰0,在P (x , y , z )某邻域内满足隐函数组存在定理条0 0 0 0d (u, v)0 0 0 0f x 二 x(u, v),件，则由方程组f、在点P (x ,y ,z )附近能确定隐函数(即x和y的逆映射)y 二 y(u, v)0 0 0 0满足u二u(x , y ), v二v(x , y )于是，曲面S可以表示为0 0 0 0 0 0 。f x = x(u, v)，由方程组f /、两边分别同时对x, y
9、求偏导得到y = y(u, v)故所以，S在P0(x0, y0,z0)的切平面方程为法线方程为例6.33求曲面z = y + In-在点(1,1,1)的切平面和法线方程。z解 曲面方程为 F(x, y,z) = y + In- - z = 0 ,易得n = 1,1,2z切面方程为即 x + y - 2 z = 0.法线方程为习题 6.61 .求曲线x = a cos a cos T, y = a sin a cos t, z = a sin t在点t = t。处的切线和法平面方 程I X 2 + Y 2 + Z 2 = 62求曲线丿 在点(1,-2,1)处的切线和法平面方程.x + y + z
10、 = 0Y3. 求曲面z = arctan 在点(1,1,兀/4)的切平面和法线方程。x4. 证明曲面xyz = a3(a 0)上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5. 证明曲面z = xF(-)上任意一点的切平面过一定点。x第七节 极值和最值问题一、无条件极值 与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义6.3 n元函数/(x ,x ,x )在点P (xo,xo,x0)的一个邻域U(P ) u Rn内12 n012 n0有定义。若对任何点P(x , x ,x ) G U (P )，有12 n0/ (P) / (P)或(/ (P) 0 时，若 A 0，f (x, y)
11、在P (xo, y)取极小值；若 A 0，f (x, y) 在P (x , y )取极大值；000(2) 当Q 0，于是函数 z 在 P (2,3) 00取积大值z(P ) = 108。0f x = 0容易判断，满足条件的点为函数z的极小值点，极小值为0；满足条件的 0 y 6f x = 0f x = 0f 门和f，的点为函数z的极大值点，极大值为0。y 6一、 最值问题 在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问 题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值
12、 点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、一元函数设y = f (x)是定义在闭区间a,b上的连续函数，则f (x)在a,b上一定有最大值和最小值。区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a,b)取得的话, 则一定是f (x)的极值点，即是f (x)的驻点或是使导数f(x)不存在的点。假设f (x)的所 有驻点是X1, x 1,x1，使导数f(x)不存在的点是x 2, x 2,x 2 ,那么1 2 k 1 2 m例6.35求抛物线y2二2x上与(1,4)最近的点。解 设(x, y)是抛物线y2二2x上的点，则(x, y)与(1,4)的距离是考虑函数f (y)二d2，由f(y)二0,得到唯一驻点y二2，于是抛物线y2 = 2 x上
