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1、第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题（本大题共16小题，总计80分）（本小题5分）1、2、3、求极限limx3-12x+*16x22x39x2,12x4（本小题5分）求Jxdx.（1,x2）2（本小题5分）4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、1求极限limarctanxarcsinxx（本小题5分）求dx.1x（本小题5分）求fx21,12dt.dx0（本小题5分）求Jcot6xCSC4xdx.（本小题5分）求上丄cos丄dx丄x2x兀（本小题5分）设F一cOs确定了函数y二y（x）,求dy.y=e21sintdx（本小题5分）求J3x1+xdx.0（本小题5分）求函数y=4,
2、2x-x2的单调区间（本小题5分）工sinx7求J2dxo8,sin2x（本小题5分）设x（t）=e-kt（3cost,4sint）,求dx.（本小题5分）设函数y=y（x）由方程y2,Iny2=x6所确定,求空.dxx2第3页,共7页14、15、1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.2、（本小题7分）求由曲线y与和y壬所围成的平面图形绕OX轴旋转所得的旋转体的体积.三、解答下列各题（本大题6分）设f（X）x（X-1）（X-2）（X-3）,证明广（X）0有且仅有三个实根.一学期
3、期末高数考试（答案）一、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分）1、（本小题3分）第3页,共7页解:原式limX23x2-12x2一18x+12第3页,共7页2、3、4、5、6XlimX212X一182(本小题3分)j-(1+X2)2dX1 d(1+x2)2 (1+X2)211-+C.21+X2(本小题3分)因为|arctanx兀而limarcsin=0X81故limarctanx-arcsin=0XX8（本小题3分）Xdx1x-1-X-1dXdx+dX1xxln|1x|+c.(本小题3分)原式2X1+X46、(本小题4分)Jcot6X-CSC4xdXJcot6x(1+cot2x)d(co
4、tx)第3页,共7页11cot7x-cot9x,c.797、(本小题4分)原式-仏丄ix8、1-sinx=1(本小题4分)解：dy_e21(2sint+cost)dxet(cos122tsin12)_et(2sint+cost)(cos122tsin12)9、(本小题4分)令1,x_u原式_2f2(u4u2)du1_116_1510、（本小题5分）函数定义域（-,4）y_22x_2(1x)当x_1,y_0当x0函数单调增区间为（-,1当x1,yy0函数的单调减区间为1,+）11、（本小题5分）原式_fdcosx09cos2x13,cosx_一一In63-cosx_6ln212、（本小题6分）d
5、x_x(t)dt_e-kt(4-3k)cost-(4k,3)sintdt13、(本小题6分)2y2yy+_6x5y3yx5y2+114、（本小题6分）定义域（-,+）,且连续_2e-x(e2x)211驻点：xIn22由于y“2ex+e-x0故函数有极小值,ln）2215、（本小题8分）（1,）2,（2,丄）2,（3,丄）2+（10,1）2原式二limxx-x_x（10-）（11-）xx10x11x216x10x117216、（本小题10分）解：jcos2x_dxj1,sinxcosxcos2xdx1,丄sin2x2jd2sin2x,1）11,sin2x21ln1+sin2x,c2二、解答下列各
6、题（本大题共2小题，总计13分）1、（本小题5分）512设晒谷场宽为x,则长为米，新砌石条围沿的总长为x512L=2x,一x512L2-土x2L，竺0x3（x0）唯一驻点x16即x16为极小值点512故晒谷场宽为16米,长为百32米时，可使新砌石条围沿所用材料最省2、（本小题8分）x2x3,8x22x3280解:x0,x4.11（二）2（二-）2dxkJ45（一）dx280464x2、X3、第3页,共7页又f(0)f(1)f(2)f(3)0则分别在0,1,1,2,2,3上对f(x)应用罗尔定理得，至少存在gi,(0),g2,(1+t2解：Jsin(2+3)dx=Jsin(2+3)d(2+3)=
7、cos(2+3)+C応3，(2,3)使1)广(L)广忆3)0一、即广(x)0至少有二个实根，又f(x)0,是二次方程，它至多有二个实根,由上述广(x)有且仅有三个实根参考答案一。填空题(每小题3分，本题共15分)1、e62、k=13、1+14、y15、f(x)2cos2x第#页，共7页第#页，共7页单项选择题(每小题3分，本题共15分)1、D2、B3、C4、B5、A三计算题(本题共56分，每小题7分)4x21.解：limx-0sin2xlimx-0sin2x(4x2)2xlim2x-0sin2x(4x2)8x-0sm112.解：lim(一x-0xex1)limex1x十limx0x(ex1)x
8、0ex1xexlimx-0exexxex2第#页，共7页第#页，共7页d2ydx2d(dy)dtdx1dx2t2dt1+122t4tr3、解：limx-0cosxJet2dt1limsinxecos2x2x1x2x-0fy1(1+114、解：)二x+1+x21+x21+x215、解dy1+121dx2t2t1+12第#页，共7页6、2x2-x、372x7、解：JexcosxdxJcosxdex，excosx+exsinxdx，excosx+sinxdex，excosx+exsinx-excosxdx，ex(sinx+cosx)+C8、解：J2f(x一1)dx，J1f(x)dx，Jf(x)dx+
9、J1f(x)dx.0-1-10，0dx+dx11+ex01+x，0(1-1ex一)dx+ln(1+x)1+ex，1-ln(1+ex)0+ln2-1，1+ln(1+e-i)，ln(1+e)四. 应用题（本题7分）解：曲线y，x2与x，y2的交点为（1,1）,于是曲线y，x2与x，y2所围成图形的面积A为12311A，J(x-x2)dx，x2-x21，3303a绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:V，兀JYy)2y4勺y，兀13，兀100第#页，共7页第#页，共7页五、证明题（本题7分）证明：设F（x），f（x）x，显然f（x）在2，1上连续，在（，1）内可导，-0，F(1)，-10.2第#页，共7
10、页第#页，共7页由零点定理知存在e|，1，使FW）=0.第#页，共7页第#页，共7页由F（o）=0，在o,x1上应用罗尔定理知,至少存在一点第#页，共7页e(0,xi)(0,1)，使F(,)=八,)1=0，即八,)=1第#页，共7页（本小题5分）求函数y二2ex,e-x的极值（本小题5分）求极卩限lim（x+1）2+（2x+1）2+（3x+1）2+（10x+1）2x（本小题5分）fcos2xd求dX.1,sinxcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分）/1111、456471、512二兀44（一）兀5735三、解答下列各题（本大题10分）证明:f（x）在（一,+8）连续，可导,从而在0,3;连续，可导.x2第#页，共7页
