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1、基于教学案例的数学概念课的建构从“数系的扩大与复数的引入”一节课谈起孙福明 (常州市教育教研室 江苏 常州 2131)摘要:数学概念是数学体系的起点，数学概念课型是中学数学的重要课型按照概念课的课型特性,论述数学概念发生、发展的过程,环绕概念进行合适运用,是概念教学的基本规律新课程背景下加强概念课的有效教学是值得关注的重要话题之一.核心词:数学概念;概念教学数学概念是数学大厦的基石，是数学体系的起点.数学教师都懂得学习数学概念的重要性,她们在谈论学生的错误时,总喜欢归由于学生“概念不清”.然而究其本源,教师在讲授概念时,一方面没有讲清概念特别是新课程实行以来，部分教师由于对情境、活动的功能结识
2、不到位，导致概念教学的弱化,如在运用情境引入概念时，概念的本质属性突出不够；分析概念内涵时,缺少思想措施引领,常常揪住细枝末节大做文章；论述概念性质时，不能采用演绎的措施分清性质的层次，常把衍生很远的结论作为性质;运用概念时,不用概念规范和引领思维活动，一味强调程序和技巧等.本文以“数系的扩大与复数的引入”(苏教版一般高中数学课程原则实验教科书数学选修22，下同)为例,谈谈新课程背景下数学概念课建构的某些结识“数系的扩大与复数的引入”一节提成三大板块，第一板块是数集扩大史的简要回忆第二板块是虚数单位及复数的定义第三板块是复数概念的运用，涉及复数分类、复数相等1引入概念，立足数学,着眼学生1.1
3、 以数学系统性为基本，以引起学生认知冲突为重点在解决第一板块时，有些教师通过讲故事的方式，大篇幅的采用了数学史，引经据典,给人的感觉不是在上数学课，而是在上历史课其实,就数学史自身而言,数系的发展纵横数百年,枝节诸多，有些书籍的简介只是简约的结论，并没有完整展示.本节课的教学目的定位于通过适度“经历数的概念的发展和数系扩大的过程”,重点“体会数学发现和发明的过程”,为数集的进一步扩大打下基本，即“数学发生、发展的客观需要”,最后达到让学生充足体会到引入虚数是必需的、合理的,是水到渠成的课程原则提出的所谓“经历”,不能简朴地理解为完整“走”一遍在这里，数学史并非重点,蕴含在数学史中的数学家的问题
4、意识和数学家追求理性、追求数学的完美的创新精神是值得向同窗们简介的.部分教师简朴照搬教材内容，采用了两条线索来论述数集的扩大过程,一条是社会发展的需要,从人类生活历史的角度，阐明引入数集，的重要性，一条是数学内部运动发展使然由于采用了平行引入的解决措施,使得课堂层次不清，主题不突出，反而削弱了情境的作用.数学固然来源于生活,但数学并不能总是在生活中找到模型.例如，虚数单位“i”，在人们平常生活中,是无法直接感知的引进虚数概念,应从数学内部矛盾运动着手，是数学内部矛盾运动的产物本节课引入可以设计成以研究方程的解为线索,在回忆求解系列方程，等的过程中，让学生一次次感受到由于已有的数集“不够用”,导
5、致了数系扩大的必然性，让学生形成“由于数不够用了，导致数系必然要扩大”这一问题解决模式.由此在研究最简朴的一元二次方程时，类似的问题情境,学生自然想到扩大数系的必要性.这样的引入，既强调了数学的逻辑体系，又引起了学生的认知冲突，学生认知新概念的欲望得到调动.1 情境设立的三重功能:提取、过渡、伏笔在简介数系扩大过程中，教师只是简朴呈现这样一条线：，即数系扩大的成果.其实在数系扩大过程中，情境可以起到三重功能的作用第一重功能是提取，即提取学生知识构造中有关数系的知识,从扩大的视角，重新排列学生知识构造中是没有数系及扩大的概念,有的只是数集的知识和数集之间的涉及关系数集和数系是两个不同的概念,数系
6、是数集连同相应的运算及构造，显然,数集仅是数系的对象.涉及和扩大是有本质区别的，前者在学生的印象中更多的是“多少”或“大小”的概念,而扩大，既体目前范畴的增长上，更重要的是保持原有的、“好”的运算构造，没有由于引入新数产生变异,这一点是至为核心的,可以说是数系扩大的核心在呈现过程中,教师应故意识的引导学生从“扩大”的角度重新排列数集的知识，渗入、强化扩大的原则第二重功能是过渡，即通过历次数系扩大必要性的简介,自然过渡到引入虚数的重要性及合理性第三重功能是伏笔情境引入要为后续知识服务,不能像火箭升天,扔掉一节是一节简介数系历次扩大过程中的扩大原则，要作为重点，每次扩大都要强化,为复数概念引入打下
7、伏笔.扩大原则中“保持本来的部分运算性质”，要有具体的例子,以便为虚数引入后，虚数与实数的运算打下伏笔,解决虚数与实数运算这个难点提供铺垫.如引入无理数后,无理数与有理数之间的运算时，应板书，这样某些形式的数，以加强学生的感性结识.当背面浮现虚数时，类似的，只要把无理数换成相应的虚数，采用类比的措施可以较好地解决虚数与实数运算所带来的学生认知上的困难 结识概念,整体构建，说清分类21 虚数单位引入的合理性为什么称“i”为虚数单位?几乎所有教师在上学时都没有给与合理的解释,都是“空投”直接作为结论呈现给学生.其实,实数表达中，也是有单位的,这个单位就是1例如数，意指5个.同样,为了引入虚数，也需
8、要引进虚数单位也由于-4=4（1)，当时,，所有的负数都可以转化为一种正数与1的积,因此对负数的开平方，归根究竟转化为对-1的开平方.相称于实数中1为单位,对1开平方根就相应称为虚数单位.有个别教师类比符号如分数线“”、“”等,觉得引进的虚数单位“”是个符号.这是不对的,前面的符号都是代表某种运算,但虚数单位i不是，前后有本质区别，不存在类比关系.2.2 整体结识复数代数形式根据数集的扩大原则，对虚数单位i规定运算“实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立”，一方面考虑最基本的加法和乘法运算，由于减法和除法是加法与乘法的逆运算，因此作为最简朴的运算成果,只需要
9、考虑加法和乘法.另一方面这个数是分两步得到的，第一步是虚数单位i可以与任意实数 b相乘，得到成果是一种数i ,固然也可以写成,但由于是虚数单位,因而习惯把写在前面.再把这个数再与任意实数相加,得到成果,这又是一种数.再次,复数代数形式是简约化的商定,涉及及实部在前、虚部在后的商定,可以是具体的实数,也可以是代数体现式引入虚数单位,并与实数进行运算后得到（)后,如何在学生认知构造中纳入这个概念是十分核心的，复数进入学生的认知构造,不是简朴的同化，而是顺应.诸多教师常由于其简朴，就一带而过,事实证明，学生对复数概念模糊,相称大限度上是由于对代数形式理解不到位对复数的代数形式，一方面应整体理解,这个
10、整体形式是一种数，不能由于有运算符号“+”，就觉得它是个式子.这是虚数与实数运算(涉及化简）的成果这个整体与等无理数有形似之处.即无理数无法再与有理数“合并”化简，只能保存这样的成果，同样的，虚数也无法与实数进行“合并”,因此只能保持这样的构造.复数的这种构造体现了数学概念的两重性，即既是运算的过程,体现加法、乘法运算，是一种动态的过程；又是运算的成果,是一种静态的形式.复数的分类是对复数代数形式结识的精致化诸多教师写出或让学生写出若干个多种构造的复数，然后结合复数的形式进行分类.其实,从数学逻辑关系来说，复数集是在实数集基本上扩大过来的,在复数中，是字母形式,按照高二学生的认知水平,应当自然
11、想到分类讨论的思想,满足什么条件，复数变成（说退化更精确)实数?学生自然能想到.进而分类到的情形对与否等于0的讨论，不是讨论的焦点.只但是由于虚数集中有这样一类数集,故把它们归为一类对与否等于0的讨论，尽管形式相似，但数学含义是不同样的分类目的就是概念的精致化过程，就是概念体系的建立过程，即复数与实数与否有关系？有何关系？通过复数概念的内涵和逻辑的关联，进而分类、系统化，形成整体知识体系，达到互相联系、融汇变通.因此,有些教师前面浮现了扩大体系,但引入复数集,却没有及时链接上去，没有明确指出到此为止形成中学阶段完备的数系扩大体系：,不能不令人遗憾对数的分类讨论思想其实在数系的扩大过程中是始终存
12、在的每一次的扩大就是分类思想的体现.如有理数分为整数和分数,实数分为有理数和分数.同样，实数扩大到复数后,复数分为实数和虚数这样的分类更能体现数学培养学生逻辑思维能力的作用,体现数学的系统性,体现数学思想的一脉相承.3 概念应用，紧贴内涵,渗入思想31 概念应用,紧扣复数代数形式,不能走得太远教材设立了三道例题来结识复数代数形式,前两道是最基本的.但诸多教师误觉得简朴就一带而过，失去了在具体情境下结识复数的例题教学的价值例题教学要引导学生学会用概念规范和引领思维活动一方面要突出审题和分析的思维过程，判断对象与否是复数的原则代数形式，实部、虚部分别是什么?另一方面，如果实部、虚部中具有字母,如何
13、有序分类讨论?作为例题教学，解题的示范格式也是必不可少的.32 挖掘概念中的数学思想措施教材第三道例题是复数相等的概念运用.诸多教师感觉到如何引入复数相等是个难点甚至个别教师违背教材逻辑，通过点重叠来阐明复数相等.复数相等仍然是复数概念的深化,即相似的一对有序数对只能决定一种复数由于学生已经学过向量，对有序数对的概念并不陌生，因此在这里,把复数形式与有序数对相应起来，明确一种复数(）拟定一对有序数对,逆过来,一对有序数对拟定一种复数.就是说两个原则的复数代数形式，只要它们各自的顺序相应相等，那么这就是同一种复数这就渗入了数形结合的思想，尽管不必明确指出,但数学思想相应、数形结合的渗入是无处不在
14、的教师在数学概念的教学中,应努力在特殊的个案中挖掘重要的数学思想,并合适加以强化.数学思想是数学的灵魂,它是无处不在的,核心在于教师有一双“慧眼”. 4 学生活动，浓厚思维含量,增长探究味道新课程强调课堂教学中学生的主体地位，如何在数学课堂中体现学生的主角位置呢?通过教师精心设计知识核心点、学生理解困难点等节点处的问题,激发学生摸索的欲望,在学生摸索过程中,教师运用适度的点、拨、调、引等手段,让学生的思维不断走向进一步，是张扬学生主体地位的常用模式.在本节课的教学中,有些教师把可以摸索的内容变成了直接的知识传授,把课上得索然无味,学生完全处在游离的状态.其实,本节课可以设计成问题串的形式，让学
15、生进入思维的轨道，充足释放学生思考的权力.引入虚数概念后,用类比的措施,通过与实数的比较,激发学生探求新知的爱好如虚数与实数的运算能否类比实行与实数的运算?有何共性及区别？如与区别何在?等等. 总之，在概念教学中,应环绕概念，本着“强化理性思维”的教学原则,本着协助学生“结识数学的本质”的原则，多角度、全方位地做进一步浅出的剖析恩格斯曾说,在一定意义上,科学的内容就是概念的体系.因此，认真注重概念教学，既是新课程的规定,也是素质教育观下培养学生数学素养的必然参照文献1 中华人民共和国教育部.一般高中数学课程原则（实验)M.北京：人民教育出版社，,2 单墫一般高中课程原则实验教科书数学（选修22）M.南京：江苏教育出版社,，3 韩立福主编现代国际教育理论基本导读M北京.首都师范大学出版社，,44 邵光华，章建跃.数学概念的分类、特性及其教学探讨.课程教材教法,(）:451.【作者简介】孙福明（69）,男,中学高档教师，教育研究生。【工作单位】常州市教育教研室,江苏省常州市劳动西路1号,213001 联系电话:0869143(固定），（手机)电子邮箱：
