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1、例1、已知函数表X-112f(x)-304求f(x)的Lagrang次插值多项式和Newtor二次插值多项式。解：(1)由题可知Xk-112yk-304k(x)XX0XX2x1x2XiX0X1X21112lo(x)xxixX2XoXXoX21112l2(x)xx0xx1x2xoX2X1插值基函数分别为X1x11x1x121213故所求二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yklkxk01X1X213x1x206x1x22237XX23阶均差、二阶均差分别为5 23阶均差、二阶均差分别为Xi，X2fX0fXi30x0x111fx1fx204x1x212fXo，x!，X2均差表为Xkf(Xk)一阶二
2、阶-1-3103/22445/6fxo,xifX1,X2X0X2故所求Newton次插值多项式为fX0,X1,X2XX0XX1P2xfx0f3X23x2X0,X1X5 X6xo例2、的最佳平方逼近多项式。设f(x)x23x20,1，试求f(x)在0,1上关于(x)1，span1,x解:span1,x则o(x)1(x)，且（x）1,这样，有0,11dx01,x2dx00,1,01xdx012,12XX03x9dx一4x23x2dx236所以，213法方程为23a06a194经过消元得再回代解该方程,a012112116a0a123613故，所求最佳平方逼近多项式为S*(x)H4xspan1,x的
3、最佳span1,x的最佳例3、设f(x)ex,x0,1，试求f(x)在0,1上关于(x)1,平方逼近多项式。解：若span1,x，贝Uo(x)1，1(x)x，这样，有f，0f,111dx01x2dx01，01exdx01xexdx1131xdx01.71831所以，法方程为1丄a01.7183211a1123解法方程，得到a00.8732，內1.6902，故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x)0.87321.6902x例4、用n4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分:Jxdx解：(1)用n4的复合梯形公式由于h2，fx.x，xk12kk1,2,3，所以，有1xdx门h3-f12f2k1Xkf9-
4、12325.7.917.2277（2）用n4的复合辛普森公式由于h2，fxx，Xk12kk1,2,3，x12k22kk0,1,2,3，所以，有1xdxS4hf1334fx12fxk1f96k0k2k11143.2,4,6.82,35、亍317.3321例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。12x13x23x31518x13x2X315X1X2X36解：先消元123315Ab1831151116183115r1r212331511162m21刁第1行（m21）第2行第2行31m31,第1行（m31）第3行第3行18311501735076171831.6183115076171831601
5、735m327,第2行（皿32）第3行第3行18311507.617.1831600227667再回代，得到x33,x22,X1所以，线性方程组的解为X!1，X22，X33例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。111_X1_X2X3456111xi_X2-X33459812刈X22x38解:设2111456100U11u12u13A111A-121100u22u233451131132100U33LU则由ALU的对应元素相等，有1312,111u11，u125，u1346121u11312143，131u11-121u12u22u22丄60，121u13u23u23145，131u121
6、32u22113236，131u13132u23u332因此，1111004564c11ALU100360452361cc130015U33y113151004解Lyb，即一10y232361y398，得y19，y24，y31548227.0811156yX111X2604513X30154解Uxy，即0094，得x3177.69，x2476.92，154所以，线性方程组的解为X!227.08，x2476.92，x3177.691、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使ALU唯一成立。（）2、当n8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如3、形
7、如f(x)dx确度的次数为nAif（Xi）i1的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精2n1o（）210A1114、矩阵012的2范数A2=9o（）2aa0A0a05、设00a，则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的。（用）（）6、设ARnn,QRnn，且有QTQI（单位阵），则有A2QA2。（）7、区间a,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。）1、（X）2（V）3、（X）4（V）5、（X）6、（V）7、（X）8、（X）一、判断题（10XT）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。（X）2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附
8、近是平方收敛的。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naHaj（i1,2，,n）j1ji则解线性方程组AX=b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。（X）4、样条插值一种分段插值。（）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（）7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=bo（X）8迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直至y最后一步迭代计算的舍入误差。9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误
9、差。10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。1.1000用计算机求1為时，应按照n从小到大的顺序相加。n1n2.为了减少误差，应将表达式.2001.1999改写为进行计算。(对J2001J19993.4.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。()用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。复习试题、填空题:1、,则A的LU分解为答案:1140141511540156152、已知f(1)3f(x)dx1.0,f(2)1.2,f(3)3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得f(1)答案:2.367,0.253、f(1)1,
10、 f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中X2的系数为拉格朗日插值多项式为L2(x)丄(x2)(x3)2(x1)(x3)-(x1)(x2)答案：-1,22、八丿4、近似值x*O.231关于真值x0.229有(2)位有效数字;5、设f(X)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是(Xn1答案Xn1答案Xnf(Xn)1f(Xn)6对f(X)X、2001、1999改写为_2001,199914、用二分法求方程f(x)xx10在区间Q,1内的根，进行一步后根的所在区间为051进行两步后根的所在区间为Q.5,Q.75。1VXdx15、计算积分0.5XdX,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近
11、似值为Q.4268,x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(q)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为ba();10、已知f(1)=2,f(2)=3,4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为，辛卜10、已知f(1)=2,f(2)=3,4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为，辛卜系数为(0.15);1生公式的代数精度为3。3x15X21X1(k1(
12、15x2k)/3131.3111、11、两点式高斯型求积公式of(x)dx-(Qf(x)dx丁(WF)f(WT),代数精度为(5);12、12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。1013、为了使计算x1(x1)6(x1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为y10(3(4,为了减少舍入误差，应将表达式1代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=12h(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿h(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿17、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则h(x)插值多项式为N2(x)16x7x(x1)求积公式求积公式bf(x)dxnAkf(xk)k0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n1)次代数精度519、已知f(1)=1,f(3)=5
