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1、Lagrange中值定理几种证法摘要：在解决微积分的问题中，很多时候要用到Lagrange中值定理，但对于 Lagrange中值定理的证明，书本上只给了一种方法，为了更好地摸清Lagrange 中值定理的“底”，特提供以下几种方法。关键词：Lagrange中值定理；辅助函数；坐标系转轴；闭区间套定理。Lagrange中值定理：设函数f (x)在闭区间屋b上连续，在开区间Qb)上可微，至少存在一点& e侦b)，使尸(提=业二四b - a几种不同的证法是：证法1,作辅助函数中(x) = f (x) - f (a) - f ()f (a)(x - a), x g la,bl b - a由于函数f(x
2、)在闭区间侦b连续，在开区间(a,b)上可微，因此函数中(x)也在闭 区间侦b连续，在开区间(a,b)上可微，并且有中(a)=中(b) = 0于是由Rolle定理，至少存在一点& e (a,b)，使得中代)=0，对的表达式求导并令0(g) = 0，整理后得=f(b) - f (a) b - a证法2,作辅助函数.(X) = f (x) - f 竺4) xb - a由于函数f(x)在闭区间a, b连续，在开区间侦b)上可微，因此函数中也在闭 区间a,b连续，在开区间(a,b)上可微，并且有于是由Rolle定理，至少存在一点& e Qb),使得中代)=0，对的表达式求导并令0(g) = 0，整理后
3、得=f(b) f (a) b - a证法3,坐标系旋转在高等代数第四章第一节中的引例中提到了坐标系旋转问题，在这里我们也可以把原来标系进行逆时针旋转，新得到的X轴与x轴的夹角是9，令tan9盘(b) - f (a)， b - a平面直角变换后的公式是x= x cos9 - V siin9y= x sin 9 + y cos 9整理后得x = y sin 9 + x cos 9 y = -xsin9 + ycos9 =g (x)由于函数f(x)在闭区间a, n连续，在开区间侦b)上可微，所以y在闭区间a, b 连续，在开区间(a,b)上可微f(b)sin9 + b sin 9)=g (f (a)
4、 sin 9 + a cos9所以存在一点门 e (f (a)sin9 + a cos9, f (b) sin9 + b cos9)使 g(q) = 0，*、 dy- sin9 + f(x) cos9g 0)=二=-_ = 0dxf(x) sin 9 + cos 9f，(x) = tan 0 = f (b) - f (a)b - a存在一点& e (a,b),使得f，(&)= f (b) - f (a) b - a证法4,利用闭区间套定理设 x x e (a, b)与向量点(x , f (x ) ),( x , f (x )所构成的向量(x - x , f (x ) - f (x )11222
5、121(b - a, f (b) - f (a)是一对平行向量，由此得f (x ) - f (x )f (b) - f (a)21 =x - xb 一 a设(x , x ) U ( x , x ) U (x , x )2 n-12 nx 2 n-32 n 一 22 n-52 n - 4根据闭区间套定理可知，存在唯一实数 & (七七x2 n-1ns=lim xznns至少存在一点& e (a,b)使得x2L 2n-1. .f(&) = f ( x 2.1 一 f ( x 2 = f ( x 2)-f b = f (b) -f (。) b - af，(g)= f (b) - f (a)证法5,利用
6、面积法设h(x)表示的三角形ABC的面积，A,B,C的坐标分别是(a, f (a) ) ,( b, f (b),(x, f (x)线段AB所在的直线方程l是y= f (b) 一 f (a)(x - a) + f (a) b - aAB =(b a)2+( f (b) - f (a)2-f (x) - f (b) - f (a) (x - a) - f (a)点C到直线l的距离是d=h(x)= 1 AB = 1 f (x) - f f ()- f (a) (b - a)2 i 2b - a (x - a)h(a )=h(b)由Rolle定理，至少存在一点& e (a,b),使得h(&) = 0，对的表达式求导并令h低)=0，整理后得=f(b) f (a) b 一 a参考文献：1数学分析陈纪修，於崇华.M1北京：高等教育出版社,1999b高等代数北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.M.北京:北京高等教育出版社,2003h高等数学学习指导与习题解析黄光谷，邹亚清，谭代富，方永波 M.武汉：华中科技大学出版社,1999
