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1、量子力学练习题一一、基本概念及简答1. 简述的物理意义及其实验基础。2简述迭加原理。若，的物理意义是什么？3三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角()部分 =,求的平均值。4设，A.若，是否的本征态一定是的本征态，举例说明。B.若，是否就一定无共同本征态，举例。C.若，是常数，是否能有共同本征态，证明你的结论。5、判定及是否厄迷算符。6、，试问，是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，为厄米算符，也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？
2、全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。12. 如果，且， 都是束缚态，则13什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14已知，求证 15已知 ，为厄米算符，则也为厄米算符的条件是什么？16若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；17.设 且已知以一维线性谐振子的能量本征值，本征函数，及的宇称为。试写出能量本征值及本征函数。18在上的平均值为零，即19.(1).全同粒子交换算符是否对易?有无共同本征函数? (2) .不考虑粒子间的相互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列
3、情况下，体系有多少可能的状态？A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.二、解决问题题1、质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，若时，体系处于态上，式中， ，已经归一化，求：（1）时，的几率（2）时的波函数，能量的可能值与取值几率，证明你的结论 （3）粒子处于基态，A 求粒子动量分布(只写出表达式即可)。B 当势阱突然变为时，求粒子仍处于基态的几率（只列公式，不必计算）2、考虑在无限深势阱（）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出这两个态的简并度。3、在本征态下，求证： （1
4、） （2）(12)计算，4计算， 设（1）求的准确本征值。（2）若 ，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。5. （20）设 (1)（10）求的准确本征值。(2)（10）若 ，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。6、设固定于的电子处于沿方向的均匀电磁场B中（不考虑空间运动），电子的内禀磁矩与磁场B作用为 初始电子处于态求时刻电子状态。7. (10)求的本征值和本证征函数。8粒子在谐振子势场中运动，在能量表象中，时，其状态波函数为 ， 求 （1）能量平均值，可能值及相应的几率 （2）求时刻的波函数.9粒子在位势的有心力场中作定态运动，证明在任何一具有一定轨道角动量的定态
5、里，粒子的平均位置在原点。（提示，利用） 10， 求：A的准确本征值 （10分）B求的近似到二级的本征值（用微扰法） 11一维无限深的、宽为的势阱中含有三个电子，势 ，在温度 ，并忽略库仑相互作用近似下，三个电子的平均能量。问在同样近似下，在阱中若有四个电子时，其平均能量是多少？12、两个算符和的矩阵形式如下 其中，为实常数。证明算符和相互对易，进而求出它们共同归一化的本征函数。13、质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态 其中，为粒子的第个能量本征态。（1）求时能量的取值几率；（2）求时的波函数；（3）求时能量的取值几率。14、在与的共同本征态下，与的平均值为零，且
6、当时，测量与的不确定性之积为最小。（提示：用升降算符，）15、 设 （1）求的准确本征值。（2）若 ，求的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。16、线谐振子受到一个方向均匀电场的作用，求其能级。设该线谐振子的质量为、电荷为、角频率为。17、求算符在动量表象中的矩阵表示。18、设粒子在宽为的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态 求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。19、耦合谐振子的哈密顿算符为 .（1）求其零级定态波函数的简并度。（2） 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知 。 20、对于一维运动，求算符的本征值和本征函数。21、设氢原子在时处于状态求其能量、角动量
7、平方及角动量分量的取值几率和平均值；写出在时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量分量的取值几率与平均值。已知氢原子的本征解为 22、已知算符满足，证明，并在表象中写出的矩阵表示。 23、类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为 ，当核电荷由时（ 衰变），相互作用能增加了。()试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正； ()计算结果与严格解比较。量子力学练习题二一、基本概念及简答1、在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征值出现的几率都不随时间发生变化，这样的物理量是否是守恒量？2.指出下列体系中力学量的完全集合：A. 氢原子(不考虑电子自旋)；B. 二维谐振子C. 自由粒子。3.什么是
8、束缚态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。4下列波函数哪些描述与 相同的状态。 5计算对易关系。6.设 ， ，A 若，是否的本征态一定是的本征态，举例说明。B 若，是否一定无共同本征态，举例说明。C. 若，是常数， 是否一定无共同本征态？举例说明你的结论。7指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A. B. C. D. E. F. 8 .图a中的定态波函数对应于图b、c、d中哪个势函数？ 图a 图b 图c 图d 9.下列哪些是定态，哪些不是? A 自由粒子处于，B 氢原子处于， 10. 和 是否相等？为什么？11 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？；
9、 ； ； 。12. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。13为什么既不能把波理解为粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子， 也不把波理解为由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的？14. 设，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。(1) ; (2) ; (3) ; (4)。15 指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 16简述态迭加原理。 若， 且， 那么的物理意义是什么？17在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？18. 确定，哪些是厄米算符哪
10、些不是厄米算符。19指出下列使用的Dirac符号那些是不正确的。为什么？A.; B. ; C.; D. ; E. ; F. . 20. 和 是否相等？为什么？二、解决问题题1、在表象中， . 试用微扰论求能量的二级修正。2、指出下列体系中，能量E、动量（）、角动量（）、宇称哪些是守恒量。A. 一维谐振子； B. 在Z方向均匀不变电场中的带电粒子； C. 在Z方向均匀、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子。3、 质量为的粒子处于能量为的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？4、 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值
11、。5、设体系的哈密顿算符为 求体系的能量本征值与相应的本征函数。6、设在 表象中， ,用微扰论求能级修正（到二级近似）。再严格求解，与微扰论的结果比较。7一个电荷为、质量为和角频率为的线谐振子，受到沿方向恒定弱电场的作用，即，用微扰法求基态能量，近似到二级修正、波函数到一级修正。 已知： 8求自旋角动量在任意方向（方向余弦为 ）的投影算符 的本征值和相应的本征矢。9氢原子在时刻处于状态 式中，为氢原子的第个能量本征态。计算归一化常数；（1） 计算时能量的取值及相应的几率与平均值；（3）写出任意时刻的波函数，能量的取值及相应的几率与平均值。10作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密
12、顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。（提示，用动量表象求解）。11、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，若弹性系数突然变成，即势场变成，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)12、已知二维谐振子的哈密顿算符为，在对其施加微扰后，利用微扰论求第一激发态能量至一级修正。提示：，其中，而为线谐振子的第个本征矢。13、 已知，求证 14、一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。15、质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态 上，求其动量与动能的几率分布及平均值。16、质量为m的粒子，在阱宽为a的一维无限深
13、势阱中运动，若t=0时，体系处于态，式中，n=1，2，3 求：（1）t=0时，及的几率（2）t0时的波函数，能量的可能取值及相应几率。（3）若粒子处于基态，求A粒子的动量分布（只列公式，不必计算）B 当阱宽突然变为2a时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。17、对于一维运动，求算符的本征值和本征函数，。18、用狄拉客符号导出由F表象到G表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。19、在能量表象中，一维谐振子在t0时的状态为求（1）能量的可能值及相应几率;（2）能量平均值;（3）t时刻粒子的波函数.20、，=*1，求：（1）H的近似到的能量本征值；（2）和近似到的波函数（用微扰法）21、计算对易关系，其中，。22、质量为的粒子处于能量为的本征态，波函数为，问粒子在什么样的位势中运动？23、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。提示：偶极近似的情况下，。24、在能量表象中，一维谐振子在t0时的状态为求（1）能量的可能值及相应几率（2）能量平均值（3）t时刻粒子的波函数
