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1、2.1.1椭圆及其标准方程一、教材分析学生在学习必修2第二章解析几何初步的基础上对解析几何的进一步学习。在这一章中，我们将继续用代数坐标方法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用此方法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。本节内容蕴含了许多重要的数学思想，如函数与方程思想、数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。根据本节内容的特点，教学过
2、程中可充分发挥信息技术的作用，利用几何画板作图并动态演示的优势为学生的数学探究与数学思维提供信息技术支持。二、学情分析学生在初中已学习了平面几何的基本知识，在高中必修2第二章中也已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。理论上来了说，椭圆及其标准方程的讲授可以平滑迁移，但由于高中必修2中解析几何初步是在高一第一学期学习的，与现学习椭圆相关内容在时间跨度上有一年多，再加上学生在尺规作图、直接法求动点轨迹方程、含有两个根式的等式化简等方面掌握不足，因此在椭圆及其标准方程讲授上要花一些精力及时间，完成让学生理解椭圆的定义、掌握其标准方程，体会数学
3、思想，培养好学、研学的品质的教学任务。三、教学目标分析按照课程标准的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1知识与技能目标：理解椭圆的定义。掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2过程与方法目标：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体情景中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。3情感态度价值观目标：重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐
4、趣。通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。四、重点难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用五、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境学生实验意义建构形成理论知识应用达标检测回顾反思巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论
5、证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。六、教具准备学生准备：圆规、直尺、铅笔、橡皮教师准备：A4白纸50页、几何画板七、教学过程设计（一）创设情境提出问题如图，圆A内有一定点B，点C是圆A上的一动点，线段BC的垂直平分线交线段AC于点M，则点C在圆A上运动时，动点M的轨迹是什么？（加油哦，你一定能想的出来！：）设计意图：圆和椭圆是不同的圆锥曲线，它们之间有着密切的联系，从学习内容上来说，在比修2第二章第三节已经学习了圆及其标准方程内容，从上述问题切入引出椭圆的定义，这样设计一是从学习解析几何的内容上做了一个很好的衔接；二是从解决问题的方法上可以迁
6、移，如在学习必修四中正弦函数的图像时，便是利用几何法做出正弦函数在上的图像；三是让学生感受到问题的思考、回答不难，使学生产生学习兴趣和探索欲望。（二）学生实验体验数学1学生活动：全班每一名同学在教师提供的白纸上，利用学生课前准备的圆规、直尺、铅笔、橡皮，通过动手尺规作图实践、观察，猜想轨迹为椭圆。在这个学生活动过程中，有部分学生动手实践能力不强，教师在教室巡视指导。2师生互动：展示学生成果（略）。3教师活动：如下图，教师借助几何画板动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想。4导出新课：观察所得动点M的轨迹是“椭圆”。日常生活中我们经常能看见椭圆的影子，如天体的运行轨道等。数学是一门严谨的科学，我
7、们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？椭圆的标准方程这就是我们这节课学习的重点内容。设计意图：学生在七年级下学习了尺规作图，设计通过动手尺规作图寻找动点M的轨迹一是在课堂上是容易实现；二是体验椭圆形成的过程；三是体会尺规作图的严谨性、准确性，进而培养学生坚韧、专注的品质；四是从学生实验中导出新课，明确研究课题。（三）意义建构感知数学1提出问题：通过对上述实验的动手实践，你能得到怎样的结论呢？2. 学生活动：学生每4人一组，合作讨论、探究，教师巡视指导。3请学生代表
8、本小组交流探究结论：根据上述尺规作图，从中归纳椭圆定义把平面内到两个定点的距离之和为定长（线段AC长即圆A的半径）的点的轨迹为椭圆。设计意图：通过分组让学生合作讨论、探究，一是把课堂还给学生，充分相信学生自己能够归纳概括出椭圆的定义，即便有疏漏、瑕疵，那也是很正常的；二是让“分析问题、解决问题”这种思维方式、习惯成为学生日常生活的常态。（四）形成理论建立数学1椭圆定义的完善 为今后学习，我们分别用替换A、B，这样椭圆的定义可叙述为：把平面内到两个定点的距离之和为定长（线段AC长即圆A的半径）的点的轨迹为椭圆。 提出问题：在上图中动点M到两个定点的距离之和与两定点的距离的大小关系是什么？在这个学
9、生探究过程中教师需引导学生结合图形说出椭圆定义中的定长，第一是一个常数（）；第二是利用“三角形中两边之和大于第三边”()这个常数大于两定点间距离。 继续深化问题：若常数=或常数,情况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在。师生互动：请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义。椭圆定义：我们把平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦
10、点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。预案一：学生可能会类比创设情境问题，提出如下问题：在创设情境问题中若点B分别在圆A上和在圆A外，则动点M的轨迹又分别是什么呢？教师首先引导学生积极思考，在思考未果的情况下可借助几何画板动态演示说明当点B在圆A上时，动点M的轨迹就是圆A的圆心点A；当点B在圆A外时，动点M的轨迹不存在。设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风。预案一的生成是基于对学情的分析做出的，若有学生提出，教师可从容应对。2椭圆的标准方程 提出问题：如下图，已知点P是上的一个动点,轴，垂足为,是线段 的中点，求动点的轨
11、迹方程。解析：设动点的坐标为，则由题意点坐标为，点坐标为 在上 即 所以动点的轨迹方程为。几何画板动态演示，如下图：设计意图：通过此题求解，一是让学生进一步体会圆与椭圆的密切关系；二是观察发现方程的简洁性，并思考为何如此？从而为后续求椭圆标准方程过程中的建立适当的平面直角坐标系打下坚实的基础。 回顾用直接法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、列式、化简、证明等价性。 建立焦点在轴上的椭圆的标准方程 建系设点：提出问题：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？教师活动：在学生思考未果的情况下，给予学生必要的提示结合椭圆的对称性特征，思考并回答上述问题。以直线为轴，
12、以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系设焦距为，则，设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为。 动点满足的几何约束条件: 列式： 化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案二：移项后两次平方法 令得 即 得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为。探究分析的几何含义，联想勾股定理得椭圆（焦点在轴上）与轴的交点（不妨取上交点）与椭圆一焦点（不妨取右焦点）的距离为定长的一半。预案三：用等差数列法设得 即将代入式得 将式两边平方得出结论。以下同预案二预案四：不同建系，求椭圆方程如下图1、图2建立平面直角坐标系，让学生动手求解椭圆方程。（过程略） 图1 图2设计意图：预案二和
13、预案三所涉及的内容都是求解焦点在轴上的椭圆标准方程，设计的目的是让学生进一步体会数学中的化归思想，熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不畏困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美。根据笔者所授课班级学生的实际情况，预案二在课堂上完成的可能性较低，因此着重以预案三为主，可将预案二以作业形式留给学生课后完成。预案四的设计目的是同样椭圆焦点在轴上，但坐标原点并不是线段的中点，故所求出的方程不能称之为“标准”方程，从而进一步理解标准方程中“标准”一词的含义。由于授课时间及学生实际情况，预案四可作为探究活动让学生课后完成，教师需持续跟踪、关注并指导解决学生在探究
14、过程中遇到的困难。 寻求焦点在轴上的椭圆的标准方程学生活动：类比求解椭圆焦点在轴上的标准方程过程，让学生自己动手求解焦点在轴上的椭圆的标准方程。（过程略）教师活动：揭示焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：一是此学生活动可在课堂教学中进行，也可让学生在课后完成，具体情况根据当时实际授课情况决定；二是体会数学知识学习中内容迁移，为学生今后的学习奠定基础。 辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点 区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可。若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上反之亦然联系： 它们都是二元二次方程，共同形式为； 两种情况中都有。（五）知识应用巩固新知
15、例1、判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆。 到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（不是，是线段） 到点和点的距离之和为10的点的轨迹；（是）设计意图：巩固椭圆定义例2、 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到的距离之和为8，求该椭圆的标准方程。解析：由题意，椭圆的焦点在轴上，则可设所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆经过点，求该椭圆的标准方程。解析：由题意，椭圆的焦点在轴上，则可设所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为设计意图：椭圆的标准方程是学习圆锥曲线知识中一个重要的知识点，求解方法有二，一是待定系数法；二是定义法，求解步骤有三，一是确定椭圆焦点的位置；二是根据椭圆焦点位置确定其标准方程类型；三是根据题中已知条件确定的大小，即“先定位、再定型、后定量”。设计例题2就是让学
