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1、活页作业(二十五) 几类不同增长的函数模型 知识点及角度难易度及题号基础中档稍难函数模型的增长差异1、2、68图象分析函数模型增长趋势35函数模型的选择4、7910、11、121四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)2xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大故选D.答案：D2某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20
2、%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是()A减少7.84% B增加7.84%C减少9.5% D不增不减解析：设原来商品价格为1个单位，则1(120%)2(120%)20.921 692.16%，减少了7.84%.答案：A3.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法：前5 min温度增加越来越快；前5 min温度增加越来越慢；5 min后温度保持匀速增加；5 min后温度保持不变其中说法正确的是()ABCD解析：前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温
3、度匀速增加故说法正确故选C.答案：C4某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)函数为对数函数，所以函数yf(x)的图象大致为D中图象故选D.答案：D5某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是_解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1x)11aM，x1.答案：1 6如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之
4、间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；(2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样其中正确信息的序号是_解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误答案：(1)(2)(3)7画出函数f(x)与函数g(x)x22的图象，并比
5、较两者在0，)上的大小关系解：函数f(x)与g(x)的图象如下根据图象易得：当0xg(x)；当x4时，f(x)g(x)；当x4时，f(x)1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.答案：C9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为yta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立
6、方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室解析：(1)药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，设ykt，代入点(0.1,1)，得k10，y10t(0t0.1)同理，将点(0.1,1)代入解析式yta，得a0.1，综上可知y(2)令y0.25，代入yt0.1，解得t0.6，从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室答案：(1)y(2)0.610函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所
7、示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由题图知，当xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)11商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款某顾客需购茶壶4个，茶杯若干
8、个(不少于4个)若以购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱解：由优惠办法(1)可得函数关系式为y12045(x4)5x60(x4，且xN)；由优惠办法(2)可得函数关系式为y2(5x204)92%4.6x73.6(x4，且xN)对以上两种优惠办法比较得：y1y20.4x13.6(x4，且xN)令y1y20，得x34.可知当购买34只茶杯时，两种付款相同；当4x34时，y1y2，优惠办法(1)省钱；当x34时，y1y2，优惠办法(2)省钱12某地西红柿从2月1日起开始上市通过调查，得到西红柿种植成本Q(
9、单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t50110250种植成本Q150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，而用函数Qatb，Qabt，Qa logbt中的任意一个进行描述时都应有a0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以，选取二次函数Qat2btc进行描述以表格所提供
10、的三组数据分别代入Qat2btc，得，解此方程组得.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数关系式为Qt2t.(2)当t150(天)时，西红柿种植成本最低为Q1502150100(元/102kg)所以西红柿种植成本最低时的上市天数是150天时，最低种植成本为100元/102kg.几类常见函数模型的增长特点(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动中时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k1)，通过图象可以很直观地认识它(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型指数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a1)，常形象地称之为“指数爆炸”通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力(3)对数函数模型：能用对数型函数表达的函数模型叫对数函数模型对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1)，函数值增大的速度越来越慢
