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1、 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：Un Un 0n 1显然，部分和数列sn单调增加：s1 s2Sn. sn1.收敛准则定理1正项级数 Un收敛部分数列Sn有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性n 11解sin 222221 1I 2n1 122.比较审敛法2Sin2n1 1 12n2 22 2n1有上界级数收敛1,2,).若Vn收敛,n 1定理2设 Un和Vn都是正项级数，且Un V. (nn 1n 1则 Un收敛；反之,n 1若Un发散，则 Vn发散.n 1n 1分析:Vnn 1，贝UUn的部分和n 1SnU1U2UnV1V2Vn(n 1,2,),即Sn有界，由
2、TH1知 Un收敛。反之，设n 1Un发散，则n 1Vnn 1必发散.因为若Vn收敛，由上面已证结论知Un也收敛，与假设矛盾推论 设 Un和 Vn都是正项级数，如果级数 Vn收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1当n N时有Unkvn (k 0)成立，则级数 un收敛；如果级数 vn发散，且当n Nn 1n 1时有 unkvn (k0)成立,则级数 Un发散.n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.例2讨论p 级数的收敛性，其中常数p0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散.n有1npIn 1np2dxx(nnp 1
3、n 2,3,考虑级数(n 1)级数(3)的部分和sn12卩113p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因Sn1.故级数(3)收敛.由推论1知，级数当p1时收敛.总之：p 级数(2)当p 1时发散，当p1时收敛.注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p 级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性.(1).nn 121 n 5n 2Unn12 22n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散n 1 n(2).1 . 1 sin n n 1 n 1Un原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 un和n 1Vn都是正项级数,n 1(1)如果 lim unnVn(0 I）,且级数V
4、n收敛，则级数 Un收敛;n 1n 1，且级数 Vn发散，则级数 Un发散n 1n 1(2)如果 lim UnnVn0 或 lim 土nVn例4判别下列级数的敛散性.1(1) si nn 1 n.1 sin lim n n 10,丄发散原级数发散n 1 n2nta nn 13limn12n tan 3nn23n2 收敛收敛34. 比值审敛法定理4设 un为正项级数，如果n 1lim山n Un则当1级数收敛;Un 11 (或 limn Un）时级数发散；1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）例5判别下列级数的敛散性:(1)3 nnlimUn 1-1,级数收敛n 13nUn3n!nlim
5、Un 1limn 1级数发散n 1 2nUnn2n 1 nxn 1x 0limUn 1x0 x 1收敛,x1发散x 1发散nUn5.根值审敛法-柯西判别法定理5设 Un为正项级数，如果lim n Unn 1n,则当1时级数收敛，1（或Hm n Un）时级数发散，例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）n Un n11Zn-0(nnn）1,级数收敛5nimn,n 31,级数发散6根限审敛法（与p 级数作比较）定理6设 un为正项级数,n 1(1)如果 lim nun l 0 或 lim nunnn，则 Un发散;n 1如果p 1,而limnpunl 0nUn收敛。
6、n 1例7判别下列级数的敛散性(1 ) sinn 1 nlim nunnlimnsin n1n(2) tan2n 1 nlim n2Unnlimntan飞n12n二、交错级数及其审敛法交错级数：U1 U2 U3U4(4)U1U2 U3U4,其中Ui ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1Un满足条件:n 1)；(2) limun 0,n则级数收敛，且其和S U1,其余项rn的绝对值r分析：先证明Sn的极限存在,为此把S2n写成两种形式：S2n(Ui U2) (U3U4)(U2n 1U2n)S2n U1 (U2 U3) (U4 U5)(U2n 2 U?n 1)U2n -根据条
7、件(1)知所有括弧中的差非负的由第一种形式可见S2n单调增，由第二种形式可见S2nU1，因单调有界数列必有极限，当nS2n趋于一个极限S，且lim s2nsu1 .n再证明前2n 1项的和S2n+1的极限也是S,事实上,S2n 1S2nU?.由条件知lim U2n 10 ,因此 lim s2n 1nn”叫 U2n1)S.由于 lim S2n 1 lim s2nnnS,故(1)n 1n 1Un收敛于和取后 rn(u n 1 Un 2),rn Un1 Un 2上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件,所以Un 1 .证毕.例8判别级数 d的敛散性。n 11 1)，lim Unnlimn解 Un
8、 - Un 1 (n 1,2n n 1所以它是收敛的，且其和S 1 0三、绝对收敛与条件收敛任意项级数：U1 U2 U3 U4，它的各项为任意实数绝对值级数：Un为正项级数，如果Un收敛，则称级数 Un绝对收敛;n 1n 1n 1如果级数 Un收敛,而 Un发散，则称 Un条件收敛。n 1n 1n 1定理8如果级数Un绝对收敛，则级数 Un必定收敛.n 1n 1分析：1Un 收敛，令 Vn -(UnUn) (n 1,2,),显然 V.0 且n 12VnUn(n 1,2,).由比较审敛法知Vn收敛，从而 2Vn也收敛.n 1n 1如(2绝对收敛n 1 n(1)n1条件收敛而 Un 2Vn Un
9、,Un2VnUn ,所以 Un 收敛。n 1n 1n 1n 1注意上述定理的逆定理并不成立.TH8说明,对 Un ,若用正项级数的审敛法判定|Un收敛。一般地，若 |山发n 1n 1n 1散不能断定 Un也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定Un发散，则可断n 1n 1定 Un发散，因为从这两个审敛法的证明知，上述两种审敛法判定 Un发散的依据n 1n 1是Un不趋于0( n),故 Un发散。n 1例9判别下列级数的敛散性：(1)(1)n1n 1ncos 62n绝对收敛(1)n1n 1npp 0发散 0 p 1条件收敛p 1绝对收敛小结：本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛 法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数2 1 练习.2 七n 1 n 12 SirV(1) Un Un 1 (n1,2,3,
