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1、 . 泰勒公式与其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性与拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一引言 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函
2、数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性
3、、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式与其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1若函数在存在阶导数,则有 （1）其中 上述公式称为在点处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2若函数在某邻域为存在直至 阶的连续导数,则, （2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.，定
4、理2.1(介值定理) 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若为介于 与之间的任何实数,则至少存在一点,使得.2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成，我们来详细讨论它们.当=1时，有 ，是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当=2时，有，是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类
5、佩亚诺型余项，一类是拉格朗日型余项，它们的本质一样，但性质各异.佩亚诺型余项是定性的余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.拉格朗日型余项是定量的余项（也可以写成）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限. 分析 ： 此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和,分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由,=于是，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多
6、项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1.当时,证明.证明取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.例2. 设在二次可导，而且，试求存在，使.证： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在存在，使，由费马定理知，.又，（介于与之间）由于，不令和，有，所以，当时，而当时，可见与中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值
7、，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）.例 1. 研究广义积分的敛散性. 解 ： ， 因此，即是的阶，而收敛，故收敛，从而.例2讨论级数的敛散性.注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解：因为,所以,所以，故该级数是正项级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性与拐点例 1. 设是凹向的.：， 可得所以 可得 由任意性可得在足够小的区间上是凹向的再有c，d的任意性得在任意小的区间都是凹向的，所以在区间是凹向的.利用泰勒公式对极值的判定可相似的推出函数拐点的判定即: 若在某个阶可导，且满足，且若（1）为奇数，则为拐点；（2）为偶数，则不是拐点.证明：写出在处的泰勒公式,因为 ,则，同样余项是的高阶无穷小.所以的符号在的心领域与一样.当为奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号相异，所以为拐点.当为偶数时，则的符号一样，所以不是拐点.例2？解： ， ， ，因为， 所以不是的拐点.3.5 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式可以求得.
