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1、福建师范大学21秋复变函数平时作业一参考答案1. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 2. _是统计工作的第
2、三个阶段。在这一阶段，通过对原始资料进行科学的加工，可以得出反映事物_的资料。_是统计工作的第三个阶段。在这一阶段，通过对原始资料进行科学的加工，可以得出反映事物_的资料。统计整理$总体特征3. 试证明： 设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f&39;(0)存在，则存在积分 试证明：设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f(0)存在，则存在积分证明 因为我们有，所以对任给0，存在0，使得 0f(x)/xf(0)+ (0x) 由此知f(x)/x在0，上可积，且从不等式 ， 可知f(x)/x在，)上可积，证毕 4. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6
3、，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p0.5885. 试证明： 设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零试证明：设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零证明 由题设可知，对任意的xF以及0，存在自然数指标n，使得fn(x)因为f(x)是连续函数，所以存在x0，使得fn(t)(tB(x，x)注意到B(x，x)是F的开覆盖，故存在有限个开球 B(xi，xi) (i
4、=1，2，m)， 记与xi相应的自然数指标为ni(i=1，2，m)，则令N=maxn1，n2，nm，我们得到 fn(x) (nN，xF) 这说明fn(x)在F上一致收敛于0 6. 求证方程a1cosxa2cos3xancos(2n1)x=0，在(0，)内至少有一个根，其中实系数a1、a2、an满足求证方程a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0，在(0，/2)内至少有一个根，其中实系数a1、a2、an满足f(k)=0令f(x)=a1sinx+a2sin3x/3+ansin(2n-1)x/(2n-1)f(0)=0f(/2)=a1-a2/3+(-1)n-1an/(2n-1)=0f
5、(x)=a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x又因为f(0)=f(/2)=0根据罗尔定理在(0,/2)内一定存在一点k,使得f(k)=0证毕7. 求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近正确答案：8. 在直角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?在直角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?若区域的边界曲面与平行于某坐标轴，如z轴的直线至多有两个交点，则可以采用“先一后二”的积分法(或称投影法)欲确定积分限，可将区域投影到与该坐标轴垂直的坐标面，如Oxy平面，得到投影区域D于是D便是后面进行的二重积分的积分区域再
6、确定另一自变量(如z)的变化范围：设z=z1(x，y)，z=z2(x，y)分别为区域的边界的下、上曲面，于是不等式z1(x，y)zz2(x，y)便决定了第一次积分的上、下限了 若用“先二后一”法(或称截面法)积分，可以如下定限：先将区域投影到某坐标轴上，如z轴，便得到一投影区间c1，c2，则不等式c1zc2便决定了最后一次积分的上、下限再在z轴的区间(c1，c2)上任取一点z，视z为常数，过该点作一与z轴垂直的平面与相交，设该平面截所得到的区域为D(z)，则D(z)就是先进行二重积分的积分区域 9. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点试证明一棵二元完全树必有奇数个结点方法一：设二元完全树T有n
7、个结点，m条边依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数又因为T是树，有n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点 方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为奇数本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论。 10. 设函数z1=x+y,，则( ) Az1与z2是相同的函数 Bz1与z2是相同的函数 Cz2与z3是相同的函数 D其中任何设函数z1=x+y,，则()Az1与z2是相同的函数Bz1与z2是相同的函数Cz2与z3是相同的函数D其中任何两个都不是相同的函
8、数D因为z1与z2的定义域不相同，z1与z3的值域不一样，z2与z3的定义域不相同，从而任何两个都不是相同的函数11. 给定数据 x 0.1 0.2 0.3 f(x) 5.1234 5.3053 5.5684 求一次最小二乘拟合多项给定数据x0.10.20.3f(x)5.12345.30535.5684求一次最小二乘拟合多项式设所求一次拟合多项式为 y=0+1x 记x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3，y1=5.1234，y2=5.3053，y3=5.5684，则s0=3， ，正规方程组为 即 解得0=4.8874，1=2.2250 因而所求一次拟合多项式为y=4.8874+2.2250x
9、 12. 1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：y=c1+2c2x，y=2c2，代入方程后得 $y=3c1e3x+4c2e4x,y=9c1e3x+16c2x4x，于是 左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x) =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2) =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求导两次，得 xy+y=c1ex-c2e-x xy+2y=c1ex+c2e-x 注意到c1ex+c2e-x=xy，上面的第二个关系式便说明 xy
10、+2y=xy 成立，即所给函数满足微分方程. 注意，此题亦可单独计算y，y，再代入微分方程中验证，但计算量较大$，y=4c1e2x+25c2e-5x，于是 =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(25-15-10)+2x =右边$于所给函数关系两边求导二次，有 解得，代入微分方程中： 13. 设随机变量X的分布函数 试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数设随机变量X的分布函数试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数由题意及分布函数的性质，有随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 =E(X)
11、=-10.2+00.3+10.4+20.1=0.4， E(X2)=10.2+00.3+10.4+40.1=1 D(X)=E(X2)-E2(X)=1-0.42=0.84 故，故的分布律为 X -1.52 -0.43 0.65 1.74 P 0.2 0.3 0.4 0.1 故Y的分布函数为 14. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+。( )A.正确B.错误参考答案：B15. 设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为( )的概率最大；其概率为( )设随机变量XB(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28则X取值为()的概率最大；其概率为()0和1$0.8416.
12、 用推理规则证明下式： 前提：，W(y) 结论：S(x)用推理规则证明下式：前提：，W(y)结论：S(x)证明 (1)()(M(y)W(y) P (2)M(c)W(c) ES(1) (3)(M(c)W(c) T(2)E (4)()(M(y)W(y) DG(3) (5)()(M(y)W(y) T(4)E (6)()(F(x)S(x)()(M(y)W(y) P (7)()(F(x)S(x) T(5)(6)I (8)()(F(x)s(x) T(7)I (9)(F(a)S(a) US(8) (10)qF(a)VS(a) T(9)E (11)F(a)S(a) T(10)E (12)()(F(x)S(x)
13、 UG(11)上述(2)中利用ES规则所选的c，是指(1)中符合()所指定的那些个体，而不是个体域中其他无关的个体，这对后面推证的正确性很重要(7)中所推为丁，其来源为：由于(5)为T，对应(6)中蕴含式的后件就为F，而(6)本身为T，那么(6)的前件应为F，而(7)是(6)的前件取反，即为丁T 17. 计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)由定义得 又由于，而 从而max(ATA)=32，所以 18. 设有方程组，问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?设有方程组5a+3b=r（A/B），问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?线性代数，计算呗，最后我的结果 a0,b1，有唯一解 a1/2,b=1，无解 a
