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1、极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且b.则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；（1） 则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；（2） 则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程的解分别为且b.（1） 若则即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点右偏；（即峰偏右）（2） 若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点左偏;（即谷偏左）（3） 若则即函数f(x)在区间上
2、（a,b）极大值点左偏;（即峰偏左）（4） 若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点右偏;（即谷偏右） x= x=y=mxy=f(x)x= x=拓展：1） 若，则的图象关于直线对称；特别地，若（或f(x)=f(2a-x)），则的图象关于直线对称2） 若函数f(x)满足有下列之一成立：f(x)在递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)）f(a+x)(f(x)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)()f(2a-x)则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右）也
3、称谷偏左（或右）；性质：1) 的图象关于直线对称若则 ,(=0,);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则,及极值点偏移解题步骤：求函数f(x)的极值点；构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f()确定F(x)单调性结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证：求函数f(x)的极值点；构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性判断F(x)符号从而确定
4、f(x+),f( 的大小关系;假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)F(0)=0，从而得到x0时f(x+)f(1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点. 设x1，x2是的两个零点，证明：+x21时，f(x)g(x) ()如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数
5、，所以,即2.3. 已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（I） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. （II）设函数则当.故当， 8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知， 4已知函数 (m若f(x)有两个极值点且求证:5. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且其极值点为求证:（已知函数 =(a ，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）6. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证
6、：7. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：-18. 已知函数 = f(求证:9已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：10. 已知函数 = f(求证:11. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：12. 已知函数 =(a若f(x)=c有两个不同根求证：13. 已知函数 =(a令g(x)在(0,3)单调递增求a范围;当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(B(且又是h(x)导函数,满足证明14已知函数 (k若;若对都有f(x)求k范围;若且 f(证明：;15. 已知函数(af(x)的极值点为若存在且求证:;16. 已知函数 (a); 若f(x)
7、存在两个极值点，证明： ;17. 已知函数与g(x)=3-在(1,1)处有相同切线；若y=2(x+n) 与y=f(x)图象有两个交点,求n范围；若两个极值点，证明：；18. 已知函数(a 若f(x)=g(x)+(a+1)有两个不同零点, 证明：;19. 已知函数 ,(a;若f(x)=lng(x)-a 与y=m,(m图象有两个交点A、B,线段A、B中点为证明：;20. 已知函数图象的一条切线为x轴；求a值；令g(x)=若存在满足证明:21. 已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；若xf(x)对恒成立,求a最大值；设f(x)在(1,)的实根 ，若在区间(1,)上存在求证：22已知函数, (a；若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；如果函数g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明:;23已知函数-(a-2)x-alnx (a； 设函数若使得成立求实数a取值范围;若方程f(x)=c有两个不等的实数根,求证：24. 已知函数 若使得对上f(x)恒成立求实数a的取值范围；若g(x)=f(x)-ax-有两个不同零点求证：;25已知函数当时讨论y=f(x)在）上的单调性；y=f(x)有两个不同零点且求证：
