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1、2010届高三数学每周精析精练：直线和圆一、选择题（12题，每题5分）1.原点到直线的距离为（ ）A1B C2 D1.【答案】：D【解析】：原点为(0，0)，由公式，得：，故选（）。2.直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是A B. C. D. 2.【答案】A【解析】可得斜率为即，选A。3. 已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为A B C D 3.【答案】B【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.4. 过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网A. B.2 C. D. 2 4.【答案】:D
2、【解析】:,圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 故选D.5. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 5.【答案】：A【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。解析2：如下图，由题意可知6. 已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为A.+=1 B.+=1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C.+=1 D.+=16.【答案】B【解析】设
3、圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。.7. 过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条7.【答案】B【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。8. 若直线 与圆相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点），则k的值为 （ ）A.-或 B. C.-或 D.8.【答案】：A9. 经过圆的圆心C，且与直线x+y0垂直的直线方程是
4、（ ）A B. C. D. 9.【答案】：B【解析】：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,因此，选（B.）。10. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）AB w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CD10.【答案】：B【解析】：设圆心为由已知得 故选B.点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。11. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）.A3 B2 C D11.
5、【答案】：A【解析】：，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。12. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 （ ）A . 4 B. C. 5 D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.【答案】:C【解析】设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积二、填空题13.若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w 13.【答案】：4【解析】：由题知，且，又，所以有，。14. 若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则_ 。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。14.【答案】：【解析】：由知
6、的半径为，由图可知解之得15. 已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 15.【答案】： 【解析】：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。16. 过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。16.【答案】：4【解析】：可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得三、解答题17. 已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且. w.w.w.k.
7、s.5.u.c.o.m 17.解 （1）由.18. 已知：以点C (t, )(tR , t 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y = 2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程18.解 （1）， 设圆的方程是 令，得；令，得 ，即：的面积为定值 （2）垂直平分线段 ，直线的方程是 ，解得： 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为19. 已知动圆过定点，且与直线相切.
8、(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.19.解：（1）设为动圆圆心，由题意知：到定直线的距离，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动圆的圆心的轨迹的方程为： 5分（2）由题意可设直线的方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 得 或 7分且， 9分由 11分或（舍去） 13分又，所以直线存在，其方程为： 14分20. 已知函数 （1）当恒成立，求实数m的最大值； （2）在曲线上存在两点关于直线对称，求t的取值范围； （3）在直线的两条切线l1、l2，求证：l1l220.
9、解：（1）直线y=x与曲线的交点可由求得交点为（1，1）和（4，4），此时在区间1，4上图象在直线y=x的下面，即恒成立，所以m的最大值为4。（2）设曲线上关于直线y=x的对称点为A（）和B（），线段AB的中点M（），直线AB的方程为： （1分）又因为AB中点在直线y=x上，所以得 9分（3）设P的坐标为，过P的切线方程为：，则有直线的两根，则 14分21. 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
10、且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.21.解:（1）因为, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,要使, 需使,即,所以,
11、 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即有唯一解则=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.- 1 -
