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1、案例实验一控制大气污染问题【实验目的与要求】培养从实际管理问题中归纳建立线性规划模型的能力，熟练使用计算机软件 求解线性规划模型，并利用模型结果对现实问题进行分析。通过实验掌握线性规划模型的求解方法，了解影子价格、最优域、可行域、 灵敏参数等概念的经济含义，以及其在现实管理中的作用。独立完成实验，并得到 正确的结果。【实验内容与数据】N&L公司是一家全球著名的钢铁制造厂商，位于钢铁之城。该公司目前雇佣 了 50,000名员工，是当地的主要劳动力雇佣者，因此整个城市都因这家公司而繁 荣与发展起来，这里的人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。 但是现在人们的观点发生了一定的变化：公司
2、锅炉中排放出的气体因未加治理，正 破坏着城市的风貌并日益危及着城市居民的身体健康。最近的公司一次股民选举产生了一个较为英明的新董事会，其中的董事会成 员与城市官员和居民讨论如何处理空气污染的问题，他们一起制定出了很严格的大 气排放质量标准。所排放的气体中，三种主要的成分是：大气微尘、氧化硫和碳氢 化合物。新制定的排放气体质量标准要求公司降低这些污染气体的排放量，具体要 求如表1-1所示。表1-1 政府要求每年污染排放减少量（百万镑）污染物要求每年排放减少量大气微尘60氧化硫150碳氢化合物125董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员，用最经济的方法降低污染气体的排放量。公司的污染气体主要来自
3、两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢 的敞口式反射炉。在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是：增加 烟囱的高度，在烟囱中加入过滤装置，在燃料中加入清洁的高级燃料。三种方 法都有其技术限制（例如，烟囱可增加的高度是有限的），但可以考虑在各自的技 术限制内，采取一定程度的措施。表1 -2显示了在技术允许的范围内，最大限度地 使用各种方法可以降低两个炉子污染气体的排放量。为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度 的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。此外，各种方法在两个炉子上 的实施比例可以不同，且在效果上也是互不影响的。在分析了上面的数据之后，可 以发
4、现没有一种方法可以实现全部的降污要求，而另一方面，在两个炉子上都同时 最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成降污任务，但这样做的费用是昂贵 的，不利于公司的产品保持竞争力。因此，工程师认为，应该在考虑各种方法的成 本与效益的基础上合理的组合各种方法。此外，因为两个炉子的情况并不相同，所 以针对两个炉子的治理方法也将不同。表1-2 运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量（百 万镑）污染气体增加烟囱高度加入过滤装置加入高级燃料鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉大气微尘12925201713氧化硫354218315649碳氢化合物375328242920实施分析每种方法的一年总成
5、本，该成本包括运营和维护费用，以及因为使 用降污方法而致使生产效率降低，进而减少了的收入。此外，最大的成本是安装设 备的启动成本。为了使一开始的启动成本与今后的年成本可以相互比较，必须考虑 货币的时间价值，将年成本折现。这样可以生成下面的数据表，表1 -3表示的是最 大限度的使用各种方法估计的年成本。并且，各种方法的使用成本与可获得的降污 能力是成比例的，也就是说，要取得一定比例的降污效果，所实施方法的成本在总 成本中占同样的比例。表1-3 最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）各种降污方法鼓风炉反射炉增加烟囱高度810加入过滤装置76加入高级燃料119【阶段性实验步骤一】现在，我们可
6、以制定出降污规划的大致框架了，即这一规划必须确定在两个 炉子上，使用哪几种方法，每种方法的实施程度。假设，你被任命为管理科学小组 的组长，管理层要求你以最小的成本实现降低各种污染气体的年排放量要求。1. 建立线性规划模型。2. 利用计算机软件求最优解。【阶段性实验步骤二】现在，管理层希望能够在你的帮助下，进行一些深层次分析。因为管理层对 这几种治理方法都没有经验，所以使用各种方法的成本只是一个大致的估计，实际 值可能在10%的范围内变动。此外，表1-2中的数据还存在一些不确定性，尽管这 些不确定性或许比表1-3中的要小一些。表1-1中的数据是政策标准，但是，这些 数据是在不知道成本的情况下确定
7、的一些暂时性的数值，公司与政府的官员都认 为，应该在成本与收益分析的基础上来确定最终的决策。政府官员估算出如果将第 一张表中的政策标准增加10%，对整个城市的价值是$3,500万美元。因此政府决 定，公司每提高10%的降污标准（表1-1中的所有数据，直到50%），可将获得 $350万的降税。最后，管理层对政策标准中各种污染气体的相对值还存在一点分歧，如表1- 1所示，要求减少的大气微尘的数量还不到其他两种的一半，因此，有些人提出， 是否减少这一差距。而另一些认为应该增大差距，因为氧化硫和碳氢化合物的危害 比大气微尘大得多。最后，人们同意在获得最优的成本收益平衡解之后，再对这一 点进行探讨，增加
8、一种污染气体的数量同时减少另一种污染气体的数量，看看会有 怎样的影响。1. 判断线性规划模型中哪些成本参数是敏感系数，应该作进一步精确的估 计。注：在本案例中，若某成本参数最优域的下限大于该参数值的0.9倍，则该参 数称为下限敏感系数；若某成本参数最优域的上限小于该参数值的1.1倍，该参数 称为上限敏感系数，下限和上限敏感系数均称为敏感系数。2. 对于每一种污染气体，求排放量减少一单位所引起的成本变化量。排放量 在多大的范围内变动，该成本变化量会保持不变。3. 在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位的变动，可 能会引起氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大
9、幅度 的变动？如果氧化硫和碳氢化合物同时因此而变动，且两者变动的幅度相同，该变 动的幅度又是多少？【阶段性实验步骤三】1. 假设以。表示表1-1中标准的增加百分比，。二10, 20, 30, 40, 50, 分别求出该修正的线性规划问题的最优解。考虑税收上的优惠，管理者将会选择哪 一个0?2. 根据上面计算出的。，生成灵敏度报告，并重复【阶段性实验步骤二】中 2和3问题的分析。【实验报告】【阶段性实验步骤一】1.1建立线性规划模型设六个决策变量(j=1,2,3,4,5,6),表示三种方法在不同炉子上的实施比例，且(0 xf 125技术约束：七 0，j=1,2,6故建立的线性规划模型为：Min
10、z - 8X + W2 t 7xy i 6X4 1 llx5 t12工4- 9与 + 25x3 + 20x4 +17呜 + 13x6 60I35& +42xz f 1跖 +31jc4 +56xs t 49xfi 芝 150S.l. 37x, + 53x? + 28x, + 24x, + 29g + 20x6 2 125Xj 0/ = 12,3,4,5,61.2利用QSB软件对线性规划模型进行求解，得到如下结果:最优值:垃心二 32.1546变量工3最优解1.00000.62270.34351.00000.04761.0000所以，增加烟囱高度、加入过滤装置、加入高级燃料在鼓风炉、反射炉上的 实
11、施比例分别为100%、62.27%、34.35%、100%、4.76%、100%，才能使总成本最小 为32.1546百万美元。【阶段性实验步骤二】2.1灵敏度分析：最优域和灵敏参数：变量海%参数81076119最优域允许增量0.33620.42940.38161.81612.97520.0442允许减量M0.66702.0115M0.0445M灵敏参数010000由表可知，、工、工6具有上限敏感系数，工5具有下限敏感系数，A同时具有上下限敏感系数。2.2可行域和影子价格:约束123参数60150125可行域上限74.2971170.4531127.0417下限52.5200148.310310
12、3.3080影子价格0.11100.12680.0693影子价格反映所要求排放量变化一单位所引起的成本变化量。通过上表可知，大气微尘、氧化硫、碳氢化合物排放量三个约束对应的影子 价格分别为0.1110、0.1268、0.0693，所以，大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所 要求排放量减少一单位所引起的成本减少量分别为0.1110、0.1268、0.0693百万 美元。对于大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所要求排放量分别在 52.520074.2971、148.310170.4531、103.3080127.0417 （百万磅）范围内变 动，该成本变化量会保持不变。2.32.3.1大气微尘和氧化硫每增加一
13、单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。每减少一单位氧化硫的减排量，成本将减少0.1268百万美元。所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，氧化硫的 减排量会减少0.1110/0.1268=0.8754单位。2.3.2大气微尘和碳氢化合物每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。每减少一单位碳氢化合物的减排量，成本将减少0.0693百万美元。所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，碳氢化合 物的减排量会减少0.1110/0.0693=1.6017单位。2.3.3大气微尘和氧化硫与碳氢化合物每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。每同时增加一单位的氧化硫和大气微尘减排量，成本会增加 0.1268+0.0693=0.1961 百万美元。所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘减排量，氧化硫和大 气微尘各减少0.1110/0.1961=0.5660单位。【阶段性实验步骤三】3.10的选择0010%20%30%40%50%1.00001.00001.00001.00001.00001.00000.62270.71880.81500.91111.00001.0000X.
