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1、第二章傅立叶变换一数学三棱镜. FT发展史1 .Joseph Fourier,1807,研究热传导和扩散，发现各次正弦谐波非常适于表示体温 分布，指出任何周期信号均可用各次正余弦表示，1812获奖。2 .质疑期Lord KelvinLagrange:三角级数不可能表示尖锐形状信号3 .傅立叶理论延伸：周期信号 一非周期信号.1Tf=、FnejntFn = 2T f (t)e-jn dtnT Sflf(t)=； ?F(jw)ejwtF(jw)= ：f(t)ewtdt4 .丰富完善期:Dirichlet (1829)狄氏条件：任意有限区间内，存在有限个一类间断点一个周期内，有限个极值点5 .蓬勃应
2、用至今广正余弦波是自然界最常见波形原因 理论体系非常完美：完备正交基简单：内积展开厂解释信号的频谱分布，类似于prism,如电磁波谱应用深刻影响数字和物理两个基础学科：如解微分方程，卷积，量子力学测不准原理解释L各个行业普遍使用：无线电台，外星系辐射6 .局限性：P2倒数第二段 时间定位性差6.1 框架理论.信号信息的提取1 .提取方法：与一组已知函数进行内积运算._be *连续内积：Cn = = S中n （t）dtY*I 离散内积：Cn= S（m）% （m） m2 .内积的理解衡量信号与已知函数的相似度一匹配、数字尺度、权重矢量意义：平方程度，垂直程度.框架（对函数集的限制）一 用于信号完整
3、性、稳定性及冗余表示1.框架的引入：从两个角度论证框架的形成（两个信号Si, Sk）222A| S| Z |（S，n）| MB|S|0AWB8n则如n形成一个框架（一对向量族，函数族的限定）A=B 紧框架1 .对偶函数，行）与信号重构S=Z （Sn）* = Cnn（比喻）nn中n : elementary functionAPn : dual functionCn=（Sn）一分析变换分解S= Cn6 综合反变换重构 n2 .对偶函数的框架S2nS,彳 n,0A0BM 分解矩阵 G: NXM二 HTGX=X,NM重构矩阵H:MXNN=M,分解矩阵G形成基，GH均为方阵，G和H的各向量满足双正交
4、关系N=M, G=H，分解矩阵形成正交基，这时 G= HT举例例2.1:对任意一个二维信号用三个基向量表示 表明：三个基向量Q,%,%生成一框架，且是紧框架 A=|一 .3该框架不够紧，A=1 1,表小有信息冗余，原因三者线性相关对偶不唯一，当初始向量与对偶向量选为一致时，系统达到最小L2范数内积与卷积相关1 .相关Rn()=S(t)Jn (t- )dt* .Rn()八 S(m),Pn (m-) n2 .卷积(滤波)一二一一一 * 一 一一yn(t) =S(.) Pn (t- )d*yn(m)八 s(k) ；n (m -k) kKI i 2jlnm、例 2.2eNnm nw 0,N 1】mw
5、0,M 1M红基波数字角频率n 一谐波次数（基函数序号）Nm -离散序号一 ,.N 一八N M% 线性相关，框架界 A= 1 ,冗余MN=M形成正交基N, C38 =0.5,C70 =0.5，其它 Cn #0谱泄漏发生三.框架问题的深入讨论1 .紧框架有助于计算展开系数，且其系数具有最小范数 彳 nTn = Cn 彳 n n .:n1甲n =甲n反例：STFT中框架不紧，展开系数不易求A2 .对于*=下正交基情况，Cn即为信号在 包口投影，物理意义明确A（n,匕同时具有明确物理意义）反例：非正交情况， C:难以反映信号特性3 .线性独立的紧框架可以形成正交基，变换后信息表示无冗余。(例2.2)
6、4 .双正交分解表示虽然也无冗余，但系数物理意义模糊。5 .两种特殊框架FT：如n 二 J1r j沃te T复指数函数，规范正交基Sinc函数：Mn(t)=Sinc(t-nT)规范正交基，采样定理的理论基础-1 二_ _Cn=S(t)Sinc(t -nT)dt = S(nT)T 二二S(t)=CnSinc(t-nT)n6.基本函数如0)的期望特性Mn 频域能量最优集中 傅立叶变换)Tn(t)=,2 7： tjnte T如n 能同时表征信号时频特性，如 Gabor展开中的加高斯窗的复指数函%容易构造FT：基波一整数倍谐波STFT:平移+调制I小波变换：伸缩，平移2.2傅立叶变换涉及信号系统，数字
7、信号处理部分跳过不讲 .两个例子例：举一高斯函数傅里叶变换(本书常用)S(t)= 三 2- 心工2一e2 二a :表示高斯函数的方差2 二 联想：概率论中的概率密度函数f(x):-;t J,二2 a越大，波形越瘦（仃2小）a越小，波形越胖（仃2大）理解 f（x）dx=1原因：刎=甘总言2dt =e 2 ;w2 ijwt |S（0）=口f（x）dxT 0 =1观察a对时域宽度和频带宽度的影响口越大，波形越瘦，时域聚集度好，而频带越胖，频域聚集度差反之，a越小，波形越胖，时域聚集度差，而频带越瘦 ，频域聚集度好时移对频谱函数影响 引起相移Wt _1高斯函数可很好地刻画信号的局部时频特性意义：高斯肖
8、像被放入德国马克货币中高斯曲线无限可微天文数学物理统计学工程学例2.7用傅立叶变换解释内插滤波器原理内插滤波器多采样率信号处理经常用S（k）, l lSE（k）lpf y ）上采样补0内插低通滤波器问题a）为什么要引入内插滤波器？b）为什么内插滤波器具有低通特性？c）在满足采样定理前提下，内插后信息有无丢失？d）内插滤波器的应用场合（多采样信号处理WVD数字实现）m SE（m） =S（ Se（0）=S（l6）时频尺度变大，则频域尺度变小，被压缩，同时产生L-1”个镜像频谱.功率谱密度1 .经典功率谱密度：S(t)S(w)则功率谱密度为P(w) = S(w)a)反映了信号的频域能量分布b)丢失相
9、位信息c)为自相关函数的傅立叶变换2 .时变功率谱密度自相关函数随时间变化 R( ) R(t, ), P(w) P(t,w)P(t,w)= R(t, )e-jw d.三.傅立叶变换几个基本性质1 .移位性质S(t)、 S( jw)时移： S(t -to), ew0t *S(w)频移：ejwot *S(t)、S(w -w。)2 .尺度性质S(L)、S(： w) ot口越大，时域波形展宽，频谱收缩a越小，时域波形收缩，频谱展宽a)可通过调节基函数时间尺度来刻画信号频域特性b)信号时频窗口不可能同时变窄 测不准定理3 .共腕性质S(t)、 S( jw)*S(t)H S(-jw)(共腕翻转)4.微分性
10、质dnnn S(t)(jw)nS(jw)dtn4.卷积定理S(t 卜 S(jw)一 G(jw)1S( ) (t- .)d.= S( jw)G( jw)ejwtdw2 二一二1一 S(一)G(J-w)ejwtdS(t) (t)ewtdt2二一6.帕塞瓦尔公式1 二令 t=0, f S(T),(T)dT=f S(w)G(w)dw2 ： -. l 二二令7(t) = h* (t) 则G(w) = H *(w)h(t)i H (w), h* (t)、 H * (-w), (t) = h* (-t卜H *(w)则 _S(.) (-.)d .二S( )h* ( )d .=S(w) H * (w)dwS(w
11、)H * (w)dw j l*0令S戈t)则:S(t)21:-=S(w)H * (w)dw 2二一二2.4时域波形与功率谱特性从数字角度描述信号的时频特性表征时频特性的物理量1.能量密度函数a）时域能量密度函数b）频域能量密度函数2|S(t)|E I关率产S小1S(w)2 产 天系 dt =-S(w)|q E 2n / 2兀2 二Edw2.平均时间t与平均频率w物理意义：重心平均时间2皿的一阶矩E2平均频率一Sw-的一阶矩1:w =2二 E一w S(w) 2 dww的时域计算人d令 wS(w)= H(w)= h(t)= T S(t)dt11 二一 一则：w =一 H (w)S* (w)dwE
12、2 二-二”生（出令 S(t)=a(t)ejS)= dS(t) =a(t)ejS)+ ja(t)CT(t)ejS)代入上式 dt二:.w1 二ja（t）ja（t）（t）a（t）dtE 一=看。冏）2出-。翁（向烦=：:w =2S(t)(t) -(- dtE即时微分相位的加权平均中 的物理意义？ （open research topia.即时频率（F） 对于多频信号就讲不通b. WVD中，中（t）即为平均即时频率（条件平均频率）-bowP(t,w) dwt = 矢=5(t) (多频信号P43解释一下)P(t,w)dw3.信号的时宽（4t）与带宽（4w）t time durationAw frequency bandwidthAt:21： -22. :t = = ./t-；t) S(t) dtE -2产 2 S(t) ,2=t2dt-2-二 E|2自 AA 21 产/、2 S(w)(2)Aw:ww =(w- ) dw2二；E|21 产 21S(w)|2=一 w dw -: w2二-二 E方差At, Aw 标准差
