上海市高考数学试卷（理科)参照答案与试题解析 一、填空题(本大题共有14题,满分５６分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写成果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1．(４分)(•上海)计算：= .考点:数列的极限.菁优网版权所有专项：计算题.分析：由数列极限的意义即可求解.解答：解：＝=,故答案为：．点评:本题考察数列极限的求法,属基本题. 2.(4分)（•上海）设ｍ∈Ｒ，m2＋m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．考点：复数的基本概念．菁优网版权所有专项:计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣１＝0,m2﹣1≠0,由此解得实数m的值．解答：解:∵复数z=(m2＋ｍ﹣2)+（m﹣1)i为纯虚数,∴m２＋m﹣2=0,m2﹣1≠0,解得m＝﹣2，故答案为:﹣2.点评:本题重要考察复数的基本概念,得到 m２+ｍ﹣2=0,m2﹣1≠0，是解题的核心，属于基本题. ３．（４分)（•上海)若=,ｘ＋y＝ ０ ．考点:二阶行列式的定义．菁优网版权所有专项:常规题型.分析：运用行列式的定义,可得等式，配方即可得到结论.解答：解：∵＝，∴x2+y２＝﹣2ｘy∴(x+ｙ）２=０∴x+ｙ=0故答案为0点评:本题考察二阶行列式的定义，考察学生的计算能力，属于基本题. 4.（4分)(•上海)已知△ABC的内角Ａ、B、C所对的边分别是a、b、c，若3ａ2+2aｂ+３b2﹣3c2＝０，则角Ｃ的大小是 .考点:余弦定理.菁优网版权所有专项：解三角形.分析:把式子3a2+2ab+3b2﹣3c２=０变形为，再运用余弦定理即可得出.解答：解：∵3a2＋2ａb+3b2﹣３c２=０，∴,∴==．∴C=.故答案为．点评:纯熟掌握余弦定理及反三角函数是解题的核心． 5.（４分）(•上海）设常数ａ∈R,若的二项展开式中x７项的系数为﹣１0,则ａ＝ ﹣2 ．考点:二项式系数的性质．菁优网版权所有专项:计算题．分析:运用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+１项,令x的指数为７求得x7的系数,列出方程求解即可．解答:解：的展开式的通项为Ｔr+1＝C5rx10﹣2r（)r=C5rx１0﹣3rar令1０﹣3r=7得r=1，∴x７的系数是ａC５1∵x７的系数是﹣1０，∴aC51=﹣10，解得a＝﹣2.故答案为：﹣２.点评:本题重要考察了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 6．(4分）(•上海）方程+=３x﹣1的实数解为 ｌog３4 .考点:函数的零点.菁优网版权所有专项:函数的性质及应用.分析:化简方程+＝3ｘ﹣1为 =3x﹣1，即（３x﹣4）（３x+2)=0，解得 3ｘ＝4,可得x的值.解答:解:方程＋=3ｘ﹣1,即 ＝3x﹣1，即 8+3x=3ｘ﹣1( 3x＋１﹣3)，化简可得 32x﹣２•3ｘ﹣8=0,即(3x﹣4）（3x+２)=0.解得 3x=4,或 3x＝﹣2（舍去)，∴x=ｌoｇ34,故答案为 log3４.点评:本题重要考察指数方程的解法，指数函数的值域,一元二次方程的解法,属于基本题. 7．（４分)(•上海）在极坐标系中,曲线ρ=cosθ＋1与ρｃｏsθ＝1的公共点到极点的距离为 .考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式.菁优网版权所有专项：计算题.分析:联立ρ=ｃoｓθ＋1与ρｃoｓθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ＝cosθ+1得，ｃosθ＝ρ﹣1，代入ρｃosθ=１得ρ(ρ﹣1)=1,解得ρ＝或ρ=（舍）,因此曲线ρ＝cosθ+1与ρｃｏsθ=1的公共点到极点的距离为,故答案为:.点评：本题考察两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基本题. 8.（４分)(•上海）盒子中装有编号为1，2,3，4，5，6,７,８，9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （成果用最简分数表达）．考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专项：概率与记录.分析:运用组合知识求出从1,2，３，4,5,6,7，8,9九个球中,任意取出两个球的取法种数,再求出从5个奇数中任意取出２个奇数的取法种数,求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率,运用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答:解:从1,2,3,4，5,6,7，8,9九个球中,任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的措施种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．因此取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考察了古典概型及其概率计算公式,考察了简朴的排列组合知识，考察了对立事件的概率,解答的核心是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基本题． 9．（4分）（•上海）设AＢ是椭圆Γ的长轴,点Ｃ在Γ上,且∠CBＡ=,若AB=4,ＢＣ＝，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．考点：椭圆的原则方程;椭圆的简朴性质．菁优网版权所有专项:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意画出图形，设椭圆的原则方程为,由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出Ｃ的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值,最后运用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解:如图,设椭圆的原则方程为，由题意知，２a=4，a＝2.∵∠CBＡ=,BC=,∴点C的坐标为Ｃ（﹣1，1)，因点C在椭圆上，∴，∴ｂ２=,∴c2=a2﹣ｂ2＝4﹣=,c=，则Γ的两个焦点之间的距离为 .故答案为：.点评:本题考察椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简朴性质的应用． 10．（４分）（•上海）设非零常数d是等差数列ｘ1，ｘ2,…,x1９的公差,随机变量ξ等也许地取值x1,x2,…,x19，则方差Dξ= ３0d2 ．考点:极差、方差与原则差．菁优网版权所有专项:概率与记录.分析：运用等差数列的前n项和公式可得x1+ｘ2+…＋x19=和数学盼望的计算公式即可得出Eξ,再运用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Ｅξ＝==x1+9d.∴ｘn﹣Eξ=x１+(n﹣１）d﹣(ｘ1+9ｄ)=（n﹣1０)ｄ,∴Ｄξ＝+…+（﹣d)2+０＋d２＋(2d）2＋…＋(9d）2]＝==30ｄ2．故答案为：30d2.点评：纯熟掌握等差数列的前n项和公式、数学盼望和方差的计算公式是解题的核心. 1１.(4分）（•上海）若cosｘcosy+ｓinｘｓｉny＝，sin２x＋sｉn2y=，则ｓin（x+y）= .考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数.菁优网版权所有专项：三角函数的求值．分析:运用两角差的余弦公式及cosｘｃｏsｙ+sinxsiｎy=,可得coｓ(x﹣y）=，再运用和差化积公式sin2ｘ+sｉｎ２ｙ＝，得到2sｉn(x+y）ｃoｓ（ｘ﹣y）=，即可得出sin（ｘ+y）.解答:解:∵ｃosxcｏsy＋sinxsiｎy＝，∴coｓ（x﹣y)＝．∵sin2x+ｓin2y＝,∴sin[（x+y）+(x﹣ｙ）］＋ｓin[（x+y）﹣（x﹣y)］=,∴2siｎ(x＋y)cｏs(x﹣y）＝,∴，∴sin（x+y）=.故答案为.点评:纯熟掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的核心． 1２.(４分)（•上海)设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数,当ｘ<0时，f（x）＝9x++７．若ｆ(x）≥a+1对一切x≥０成立,则a的取值范畴为 ． ．考点:函数奇偶性的性质；基本不等式.菁优网版权所有专项：函数的性质及应用．分析:先运用ｙ=f(x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式,将f(x）≥ａ+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1,运用基本不等式求出f（ｘ）的最小值，解不等式求出ａ的范畴.解答:解：由于ｙ=f（x）是定义在Ｒ上的奇函数,因此当x＝0时，f(x）=0;当x＞０时,则﹣x＜0,因此ｆ（﹣x)=﹣9ｘ﹣+7由于y=f(x)是定义在R上的奇函数,因此f（x）=9x+﹣7；由于f(x)≥a+1对一切x≥0成立,因此当x=0时,0≥ａ+1成立,因此a≤﹣１;当x>0时，9ｘ＋﹣7≥a+１成立,只需要9x+﹣７的最小值≥a+１，由于9x+﹣7≥2=6|a|﹣７，因此6|ａ|﹣7≥ａ+１，解得，因此.故答案为：.点评:本题考察函数解析式的求法；考察解决不等式恒成立转化成求函数的最值;运用基本不等式求函数的最值. 13.(4分)(•上海）在xOｙ平面上,将两个半圆弧(x﹣1)２+y2=1（x≥1）和（x﹣3)2+y2=1(ｘ≥３),两条直线y=１和ｙ=﹣１围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕ｙ轴旋转一周而成的几何体为Ω.过（0,ｙ）（|y|≤1）作Ω的水平截面,所得截面积为4π＋8π.试运用祖暅原理、一种平放的圆柱和一种长方体,得出Ω的体积值为 2π２＋１6π .考点:进行简朴的合情推理．菁优网版权所有专项:计算题;压轴题;阅读型.分析:由题目给出的Ω的水平截面的面积,可猜想水平放置的圆柱和长方体的量,然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：由于几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分构成,一部分为定值8π,看作是截一种底面积为8π，高为2的长方体得到的,对于4,看作是把一种半径为1，高为２π的圆柱平放得到的,如图所示,这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理,每个平行水平面的截面积相等,故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π＋2•8π=2π２＋1６π.故答案为2π2+1６π．点评:本题考察了简朴的合情推理，解答的核心是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题． 14.（4分）(•上海）对区间Ｉ上有定义的函数ｇ（x),记g(Ｉ)＝｛y|y=ｇ（ｘ）,x∈I｝．已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y＝f﹣1（x），且f﹣1([0,1））=［1,2)，f﹣1（(2,4]）=[0，1）．若方程f（x)﹣x=0有解x０，则x０= 2 ．考点：反函数；函数的零点．菁优网版权所有专项:压轴题;函数的性质及应用．分析:根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈［0，1）时，x∈[1，2)时ｆ（x)的值域,进而可判断此时ｆ(x）＝x无解;由f（x)在定义域［0,3]上存在反函数可知:x∈[２，３]时，f（x)的取值集合,再根据方程f(x)＝x有解即可得到ｘ0的值.解答：解:由于g(Ｉ）={y|y=g(x），x∈I}，f﹣１（[0，1）)=[1,2），f﹣1（２,4］）=[0,1),因此对于函数ｆ（x)，当x∈[0,1)时,f(ｘ)∈（2,４]，因此方程f（x）﹣x＝0即f（ｘ）＝x无解；当x∈[1,２)时，f（ｘ)∈[０,1），因此方程f（x）﹣x=0即ｆ(ｘ)=x无解；因此当x∈[０，2)时方程f（x)﹣x=0即f(ｘ)=x无解，又由于方程f(x)﹣x＝0有解x0，且定义域为［0,３］，故当x∈。