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1、编号 学士学位论文二次型化为原则形的措施学生姓名： 布阿依仙木.买买提 学 号： 0108 系 部: 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 班 指引教师: 木也赛尔.赛都拉 完毕日期: 年 5月 日摘要在本论文中重要简介了二次型,把二次型化为原则形的四种措施。核心词:非退化；特性值与特性向量;正交化与单位化；合同 目录摘要引言.基本概念11 元二次型1二次型的原则型13 线性变换32.化二次型为原则形的措施321配措施32.2正交变换法52.初等变换法92.4雅可比措施11总结1参照文献16道谢17引言我们此前在高等代数里面学过了二次型化为原则形的措施。二次型化为原则形有配措施，正交变换
2、法，初等变换法和雅可比措施等四种措施。它们分散在多种资料。这些措施各有各的特点,根据已知二次型的特点选择合适的措施可以减少运算量。我在本论文中重要简介了配措施，正交变换法,初等变换法，雅可比措施等四种措施。1.基本概念11 元二次型具有个变量的二次齐次函数称为元二次型,简称二次型。当系数是实数时，称为实二次型;当是复数时，称为复二次型,其中在函数中记，则 =,，于是函数可写成 由式，运用矩阵二次型可表达为 若记, 则二次型可表达为矩阵形式：,其中, 任给一种二次型,就唯一拟定一种对称矩阵;反之,任给一种对称矩阵也可唯一拟定一种二次型。这样，实二次型与对称矩阵之间存在一一相应关系,因此,我们把对
3、称矩阵A叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵的二次型。对称矩阵A的秩就叫做二次型的秩。12二次型的原则型只具有平方项的二次型 称为二次型的原则形，其中, 1. 线性变换设两组变量与之间有关系式 若记 则关系式可表达为称之为由到的线性变换,称为变换矩阵。若C是正交矩阵，则线性变换=CY称为正交线性变换。当系数行列式,称上述线性变换为非退化的(可逆的）线性变换。否则称之为退化的。 2.化二次型为原则形的措施.1配措施对于一实元二次型通过配方的措施，将二次型化为仅有平方和的形式,其中且。用配措施把二次型化为原则型的一般环节:（)若二次型具有的平方项,则先把具有的乘积项合在一起,然后配方;接着再对其他的
4、变量进行同样过程，直到所有变量都配成平方项为止,通过可逆线性变换，就得到原则形。（2）若二次型中不具有平方项,但是,则先作可逆线性变换 化二次型为具有平方项的二次型,然后再按环节(1)配方。例 1 用配措施化二次型为原则形，并求所作的可逆线性变换。解: 由于具有的平方项，配方可得：令 就把化为原则形:就是所作的可逆线性变换。例 用配措施化为二次型为原则形，并求所作的非退化线性变换。解: 由于二次型中没有平方项,无法配方,因此先作一种非退化线性变换，使其浮现平方项,根据运用平方差公式,令 （）将(1）式代入二次型，得 先对具有的项配完全平方，然后对含的项配完全平方,得到 令即 (2）二次型就化成
5、了原则形。即= ()代入（1）得 (） (）就是所作的可逆线性变换。 2.2正交变换法定理 对任何给定的二次型总有正交变换,使该二次型化为原则形其中是二次型的矩阵的所有特性值。证明:设二次型的矩阵为，由于A是对称矩阵,并以一定在正交矩阵P,使得其中是矩阵的所有特性值。又由于P是正交矩阵,因此,从而有目前对二次型作正交变换，则二次型这就是二次型的原则形。综合上面的讨论,可以总结出用正交变换把二次型化为原则形的一般环节：（）由二次型写出其矩阵。（2）解特性方程,求出矩阵A的所有特性值（3)对每一种相异的,解齐次方程组，得的相应于的线性无关的特性向量。(4)将特性向量正交化，单位化,得记(5）作正交
6、变换,则得的原则形例3 用正交变换法，将二次型化为原则形。解: 二次型的矩阵A的特性多项式为 =-令,解得A的特性值为对于，由方程组 及其等价方程组解得相应的特性向量对于，由方程组及其等价方程组解得相应的特性向量对于,由方程组及其等价方程组,解得相应的特性向量正交向量组单位化,得, ， 由此得正交矩阵令正交变换,即则二次型化为原则形例4用正交变换法将二次型为原则形，并求所用的正交变换矩阵。解：二次型的相应对称矩阵由令,得A的特性值为当时,解齐次线性方程组得相应的特性向量当时，解齐次线性方程组,得相应的线性无关的特性向量将线性无关的特性向量正交化,令再单位化,令, , 取 ，则正交变换，得的原则
7、形2.3初等变换法定义 设A和是阶矩阵，若存在可逆矩阵C,使 ,则称矩阵A和B合同。除了上述两种措施化二次型为原则形之外,还可以对实对称矩阵实行合同变换,将其表达的二次型化为原则形。由于用合适的可逆线性变换把二次型化原则形就是寻找一种可逆矩阵C,使=D而任何可逆矩阵都可以表达为一系列初等矩阵的乘积且初等矩阵的转置也是初等矩阵,故有其中是初等矩阵。从而于是有即 根据初等变换与初等矩阵的关系可知，上式表达对矩阵A做一系列同样类型的初等列变换和初等行变换把A化成对角矩阵D又由于 ,因此若在实对称矩阵A的下边写上与其同阶单位矩阵E，然后对A做一系列同样类型的初等行,列变换把A化成对角矩阵,与此同步,让
8、E只与A一起做同样的初等列变换，则当矩阵A被化为，再做可逆线性变换，二次型便化为原则形用矩阵的初等变换把二次型化为原则形的具体做法 写出二次型的矩阵A构造矩阵，对矩阵作每一次初等列变换,同步对矩阵A作一次相应的初等行变换。通过一系列初等变换后，当矩阵为对角形时,E就变成了,此外C即为所求的变换矩阵。 例5 用初等变换化二次型为原则型。解：的矩阵为对矩阵施行初等变换，有由此可拟定可逆矩阵 ，易验证因此,二次型经可逆线性变换即化为原则形2.4雅可比措施这种措施是一般高等代数里面没提到的，这里我用定义和几种引理来简介一下定义 矩阵 分别为矩阵的顺序主子阵和的相邻矩阵。引理1 若P为阶上(下）三角阵,
9、对任意阶矩阵均有,证：设 则有，即成立。同理可证： 引理设A为阶对称矩阵，如果A的前顺序主子式全不为零，则存在单位上三角阵P（即对角线上元素为1的上三角阵),使为对角矩阵。证：对A的阶数归纳证明。时,显然成立。假设A为阶矩阵时，原命题成立。则当A为阶矩阵时,把分块为其中为非奇异矩阵，因此可以取矩阵则有就是一对角矩阵。定理 若二次型的矩阵的顺序主子式那么有非退化矩阵令非退化的线性变换把二次型化为原则形式证: 由引理1，2有由于，因此 ； 设,则有例 6 .运用雅可比措施将二次型化为原则形解:原二次型的系数矩阵 =于是的各阶顺序主子式为 , ， ， ，因此用非退化线性变换,原二次型可化为;总结将一
10、种二次型化为原则形可以用拉格朗日配措施，正交变换法,初等变换法和雅可比措施。这些措施中正交变换法既是相似变换又是合同变换。正交变换法,初等变换法和配措施的好处是有固定的环节,可以一步一步地做。正交变换法可以保持二次型所示图形的几何形状。但计算量一般较大;初等变换法计算量较小。如果二次型中变量个数较小,使用拉格朗日配措施反而比较简朴。雅可比措施提供了一种化二次型为原则形的简便措施，她是用矩阵的阶顺序主子式均不为零的状况总之这四种措施各有各的特点，根据已知二次型的特点使用恰当的措施可迅速求出二次型的原则形。参照文献居余马. 线性代数 M. 清华大学出版社 ， 1995年1月 ,(25859页)2
11、戴立辉.线性代数 M 同济大学出版社 ，7 月，（187189页）3 燕建梁 .线性代数 清华大学出版社 ， 8 月,（2244页)4 徐秀娟 .线性代数 .科学出版社 ,8 月， (149页） 5 主萼芳 .高等代数M 高等教育出版社 ,5月，（2125页). 朱玉清 线性代数 .国防工业出版社 ，8 月 ,（177页） 邱玉文 . 线性代数 M .南开大学出版社,4 月，（15114页).8 王庆成 . 线性代数习题集 .科学技术文献出版 ，8月,(28728页) 道谢毕业论文是每个毕业生毕业之前的重要问题。我在喀什师范学院通过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。 在指引教师木也赛尔.赛都拉的热心协助和耐心地指引下我的毕业论文已经顺利完毕，她帮我批阅了诸多次,并提供了这方面的资料和良好的意见，我学会了写作毕业论文的三个环节: 怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。我非常感谢指引教师的热心协助,也感谢我系的协助过我的各位尊敬的教师，在她们的教育下,使我在各方面得到了很大的成就,为后来的工作和生活打下了良好的基本。此致敬 礼 布阿依仙木买买提 5月 8 日
