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1、2008级电技专业固体物理学测验题 六、（15）巳知一维晶体电子的能带可写为:一、（40分）简要回答:1、什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。”、方 2 ,771、E (k) =( - cos ka + cos 2ka)ma2 88ma 2 82、式中a是晶格常数，试求:试简要说明CsCl晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。3、试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作用效果并给出其等效对称要素。4、什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为多少？5、试写出自由电子和晶体中电子的波函数。6、如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势（1）（2）（3）一、（40 分）能带
2、的宽度;电子在波矢k态时的速度;能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。固体物理学测验参考答案请简要回答下列问题:1.实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？答：晶体结构=空间点阵+基元。能函数有何特点？2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些?7、什么是禁带？出现禁带的条件是什么？答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重8、固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a。试画出6、对称心i、对称面m和4次反轴。该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111），3. 晶体的
3、典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式（201），（123）和（110）。中吸引力的来源。三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子答：晶体的典型型方式有如下五种:并讨论x射线衍射时的消光规律。离子结合一一吸引力来源于正、负离子间库仑引力;四、（12分）试求晶格常数为2a的一维布喇菲格子晶格振动共价结合一一吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。力;五、（15 分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢金属结合一一吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引为:力;分子结合一一吸引力来源于范德瓦尔斯力a rv3a r2 ra = ck
4、3氢键结合一一吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间的库仑引力。4.由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试求试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模（1）倒格子基矢;式的取值数各为多少?（2）晶面蔟（210）的面间距;答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=（3）试画出以a，a2为基矢的二维晶格的第一、第二晶体的总自由度数。和第三布里渊区。5.请写出自由电子和Bloch电子的波函数表达式并说明其物理意义。答：自由电子是平面波波函数:8.什么是空穴？其质量和电荷各为多少?W = eik ；，LBloch电子的波函数是受晶格周期函数调制的平面波
5、：* () = eik-ru (), u (r) = u (r + R )kkkkn答：空穴是研究近乎满带电子的导电行为时引进的一种准粒子，是位于能带顶部的空态， 具有正的有效质量，其大小等于空穴所在处电子有效质量，带正电子电荷。二、（10分）已知某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子，并讨论其衍射消光规律。解：面心立方每个晶胞内有4个格点，其坐标分别为:0,0,0;11 -,0,-； 22将其代入几何结构因子表达式:6. 晶体中的线缺陷之主要类型有哪些？ 各有何特点？答：晶体中线缺陷的主要类型是位错： 刃位错和螺位错。刃位错一一柏格斯矢量垂直于位错线， 有多余半截原子面，有固定滑移面；
6、螺位错 柏格斯矢量平行于位错线， 无固定滑移面，凡是含位错线的平面均 是其滑移面，整个晶体形成一螺旋卷面。7. 什么是电子的有效质量？有何物理意 义？答：电子的有效质量是电子在晶格的周 期性势场中运动的表观质量。有效质量 倒数张量定义为：1mL =V V E（k）。有效质量 力2 k k体现了周期场对电子运动的影响，它的 大小仍可视为电子惯性大小的量度，而 有效质量的正、负体现了电子在晶格和 外场之间的动量传递关系。在能带底部 附近，电子有效质量大于零，表示电子 将从外场中获得的动量传递给晶格。在 能带顶部附近，电子有效质量小于零， 表示电子将从晶格中获得的动量传递给 外场。Fhklf exp
7、(iK - R ) = f exp 2皿0 u + kv + Iw )jh jjj j j(k+1)、J+exp i2nn -kJ+exp i2nn -k=f (1+expg 但+k)+expimk +1)+expim( + h)消光规律：I X FJ2，所以当h、k、1奇偶混杂时，出现结构消光。全奇或全偶奇偶混杂三、（10分）已知某二维晶体具有长方形结构，其晶格常数之比为2 : 1,试画出该晶格的第一和第二布里渊区。解：由题意，正格子基矢为:a = 2ai a = aj，令:b = xib = x,+ yj+ y2 ja - b = 2ai - Cxi + yj )= 2兀 a - b =
8、ai - (xi + yj )= 0 a - b = 2ai - Ci + y j )= 0 a - b = ai - (xi + y j )= 2兀相应的倒格子基矢为:b1兀=I a2兀二=Ja，而倒格子及第二（黄色区域）、第二（蓝色区域）布区如图所示。四、(10分)已知某一维晶格周期为a，4兀%V(%) = cos，试由近自由电子模型计算其第一和第二禁带的宽度。a晶体的势函数可表为:解：由近自由电子模型，各禁带的宽度E = 2Vgn一 V g (Ed E = 24 兀 k 2)dk =8兀32兀2而Vn是晶体势函数V(x)的傅利叶级数展式的系数。其 值:V (%) = V exp(i 竺
9、%)n an3n g (E)=二 ( E 22K 234kx14 kx4 kx) aV(%)c= os= 一 exp(z)eb xp(-ia2晶体中总电子数:求ef与势函数的傅氏展式比较得到:N =阀 g (EdE =fE3V 牛h E 2 dE2k 23V1=: =2 VJ=0V2 = 2l 2 V2I = 1T=0K 时，EEf 时，f(E)=1，故五、(10分)已知某一价金属由N个原子组成，试按Sommerfeld模型求其能态密度g(E)，并求T=0K时电子系统的费米能量Ef。解：(1)求 g(E)3N = j (E )工 * Ed02k 23E = j EF 0 2k23因为：g(E)
10、dE = 2g(kdktlV (2m)：/ 力慕一E而电子态在k空间中是均匀分布的，gl) = V(2k )38k 3六、方2k2且自由电子的能谱为：E(k)=万扁，其等能面为球(12)试由紧束缚模型的结果，导出简立方结构晶体S电 子的能谱，并求:面，1.能带的宽度;2.k态电子的速度;-2所以，dk = 4Kk2dk，且dE = kdk，3.能带底部及能带顶部附近电子的有效质量。2mEk=1 ,故有:解：由紧束缚的结果：E (k = Ea - J - J 。诋写， ss 01n简立方每个原子有六个最近邻原子，其坐标为:土 a ,0,0； 0 , 土 a , 0 ; 0,0, 土 a ，将其代
11、入 E(k)，即可得到:Ek( ) = Eat J J eik-rss 01n=Eat J J eika + e 闻 + eik + e-瞥 + eikza + e s 01L=Eat J 2J (cos k a + cos k a + cos k a)s0-ik azEk ) = E J 2J (cos ka + cos ka + cos k=E J 2J 1 i(ka )2 +1 !(ka )2 +1 -12-(1)能带宽度:=ky=ky兀= , Eka=0, Ek )max=E J + 6JkXAE = Ek ) Ek ) = 12J1min = E0 - J 0 - J1maxmin(
12、2) K态电子运动速度:1,8 E . a E ： M E)=一(MM+dTk)xyx=E J 6J + Jak002 = Ek2、y、2 k 2).+min 2m *与自由电子能谱比较，b)能带顶底部位于kx22J a 21=ky=k ?= a ,k =-kx a xk =-kyayk =-kz a zV (k) =1V Ekkx y x并在带顶附近展开:1 ,=一(一2J)( asink a)i + (asink a)j + (asink a)k=(sink a)i + (sin k a) j + (sin ka )k xyz-fl(3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。E (k) = E
13、 + J 2J (cos k a + cos k a +cos k a) 009)能带底部位于,将能谱在底部附近展开，有:七、答：则式中七k y, *;均为小量，将其带入能谱表达式，E (k) = E J 2J cos k a + cos k a + cos k a (a 一一、=E 一J 2J cos|_ k Lk ax)=E J + 2J (cos k a + cos ka + cos k a)001xyz=E J + 2J 1 (ka)2 +1 (ka)2 +1 (ka)20012 x 2 y 2 z一. 一2k 2=E J + 6J J a 2 k 2 = E (k)+001a + cosz兀kk ay)
