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1、 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）数学教学中的反例教学研究二级学院：数学与计算科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2009级学 号：2009224721作者姓名：陈 颖指导教师：梁 英 讲师完成日期：2013年5月1日整理为word格式目 录1 研究背景2 1.1学生的数学学习现状2 1.2文献评述，研究现状2 1.3本文的工作32 关于数学反例33 开展反例教学的三种典型情况4 3.1数学概念中的反例教学4 3.1.1数学概念的易错易混淆性4 3.1.2数学概念中的典型反例教学4 3.1.3关于数学概念反例教学的作用7 3.2数学性质、定理中的反例教
2、学7 3.2.1数学的性质、定理教学7 3.2.2数学性质、定理的典型反例教学7 3.2.3反例有助突出定理、性质的关键词10 3.3数学解题过程中的反例教学10 3.3.1数学题的求解与反例的构造10 3.3.2构造反例解题的应用举例10 3.3.3反例在解决问题中的意义154 小结15 4.1数学中反例教学的功能154.2反例教学的注意事项. 16整理为word格式数学教学中的反例教学研究作者 陈颖 指导教师 梁英讲师（湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048） 摘 要：本文从概念教学、定理教学及解题教学三个方面，论述了反例教学的方法和作用。关键词：反例；数学教学；概念教学；定理
3、教学；解题教学 Study on the Counter Examples in Mathematical TeachingChen Ying Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal College, Zhanjiang, 524048 China Abstract: Methods and effect of counter examples teaching are discussed from concept teaching,theorem teaching and problem-solving t
4、eaching. Key Words : counter example;mathematical teaching; concept teaching;theorem teaching;problem- solving teaching1 研究背景我们知道，全日制数学义务教育课程标准（实验版）中强调：“能够通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”；“通过具体例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的”，这表明反例的教学应始终贯穿于教师的教和学生的学的整体过程中1.1学生的数学学习现状学生往往不够重视概念、定理中的条件和关键词，加上部分学生一
5、直习惯被动学习，又或者学不得法，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，赶做作业，乱套题型同时学生的认知水平和要求掌握的知识能力之间存在矛盾，倾向“题海战术”和“大运动量”重复训练，结果是事倍功半，收效甚微整理为word格式从心理学角度来看，无论处于哪个年龄阶段的学生的自我认知都不够完全清晰、准确，应试教育的氛围容易导致学生的功利性过强，性格浮躁和对学习的目的定位有偏加上社会舆论，学生加强对数学考试分数的重视，忽略基本知识的重要性和必要性基于以上原由，开始研究反例在数学教学中作用1.2文献评述，研究现状 高中数理化2011年第14期的一篇文章“浅谈反例在数学教学中的作用”2主要研
6、究代数方面的反例，强调能够强化学生对知识的理解，培养思维能力和提高解题速度该杂志的第80期的一篇文章“浅谈数学反例教学”3从精神层面上评价反例教学：一个错误概念的解决能催人奋进，一个错误判断的落实能使人豁然开朗，一种错误的推理方法的矫正能使人回味无穷，反例教学犹如黑夜中的星辰，给人以鼓舞和希望，反例教学恰似大海中的航标灯，照亮学生避免触及知识海洋中的暗礁，能让师生共同分享到成功的喜悦，终生受益新课程（中旬）2012年07期“注重数学反例教学 培养学生的创新能力”4一文，研究数学的特性、思想方法和作用，突出培养学生的创新能力安徽师范大学的一篇论文反例的来源和潜在动能5从定义、特殊化和运动变化等方
7、面谈反例获得的思维过程，说明反例是进一步提出问题的一个源泉1.3本文的工作本文针对概念和定理、性质的学习，求解问题过程中易错点，利用初高中、大学数学的典型的反例，对反例在教学中若干应用进行归纳，论述反例在每个阶段、不同内容的数学学习中的优越性，旨在促使学生重视反例，主动从典型反例量的积累到构造反例产生质的飞跃，并能够利用反例这一有力武器解决问题2 关于数学反例 数学反例是简明有力的否定一个重要的猜想，数学家费尽方法与精力都未必能够证明，但是若有人能够举出一个反例，这个问题便轻易得到解决例如，费马数是以数学家费马命名一组自然数，所有具有形式的素数必然是费马数整理为word格式，这些素数称为费马素
8、数已知的费马素数只有至五个一百多年后，欧拉否定了这一猜想，指出当时，有分解式： 与数学反例相关性最强的是反例教学法反例教学法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法1，最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中 反例不是错误的例子，是用本身正确的例子，说明其他问题的不正确性反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼 由于平时接触的命题大部分是真命题，学生
9、的惯性思维就知道想方设法去证明结论的正确反例正好能够弥补学生的这一思维缺陷，让学生从另外一个角度去思考，将苦思冥想不能正面证明的难题，用否定的方式轻而易举地解决反例能够打破思维定势，优化认知结构，将难以说清、容易混淆的问题变得通俗易懂，更具说服力 学生误认为构造反例是一件很困难的事情，教师在进行教学时，不能够仅仅停留在恰当使用反例的层面上，要善于引导学生分析反例、构造反例，实际上就是为学生创设探索情境的过程，从而训练学生的创造思维和辩证思维，知道什么地方该详，什么地方可略，什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，使学生对所学的新知识由“懂”到“会”，由“会”到“熟”，“熟”到“活”，由“活”
10、到“悟”通常情况下，反例的构造并不具有唯一性，因而要求学生对命题涉及的概念有透彻的理解，并能在已获知识基础上，展开充分想象，所以说教师指导学生构造反例对提高其创造性具有良好诱导作用整理为word格式3 开展反例教学的三种典型情况3.1 数学概念中的反例教学3.1.1 数学概念的易错易混淆性数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的，是数学教学的重要内容，是推导、运用数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的大前提教育心理学研究表明，人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经历正反两方面的比较和鉴别
11、，才能完整地将新知同化于原有的知识结构中在课堂教学中，数学概念一般采用正面阐述的形式，只是回答了什么情况下“是”的问题，导致学生对关键字的理解不够透彻，不能真正理解概念的本质，只是机械地记住概念这样一来，当学生遇到名称相近或结构类似的概念，就容易造成理解和运用上的混淆所以，教师要引导和帮助学生回答什么情况下“不是”的问题，从而抓住概念的本质，从认知的反方向帮助学生“吃透”概念3.1.2 数学概念中的典型反例教学例1 如图1，与不是一组平行线，与是一组平行线在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线在平行线的概念教学中，学生能够主动重视关键词之一“永不相交”，但是往往忽略另一关键词“在同一平面内”
12、，以致不少学生认为与不可能相交， 图1所以是平行线但是，在平面内，也可看作在平面内，在平面内，也可视为在平面内，明显两线不在同一平面内，则与不平行；此外，与都在平面上，故与平行因此，通过此例能够加深“在同一平面内”的理解，从而准确把握平行线的概念例2 异面直线是指（ ） A.空间中两条不相交的直线 B.平面内一条直线与平面外一条直线整理为word格式 C.分别位于两个不同平面内的两条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线在立体几何中关于异面直线的定义：“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线”学生常常将定义中的“任何”忽略或者理解有偏差，所以本题易错选A异面直线概念可用实物粉笔盒或者立体
13、几何图正方体、长方体中的边关系列举反例，如图1，两线不相交，但是在同一平面内，即可排除A一般地，教师在空间概念教学中可以举出反例加以巩固例3 不是函数误解：由于，因变量不随的变化而变化，故不是的函数 显然，这是函数概念的考查不少学生片面地理解为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，题中为定值不变化，就不是函数教科书1指出：一般地，给定非空数集，按照某个对应法则，使得中任一元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数教师应该引导学生认识到：在的定义域内，对每一个给定的值，随总有唯一确定的值和它对应，只不过在该例子中，当变化时，
14、的值始终不变，始终为1罢了，集合B只有一个元素，即由此，通过所举反例的学习，学生认识到是的函数，并非一定要求随的变化而变化，同时学生自觉地体会到：对变量的每一个确定的值，变量有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质例4 数学分析中“函数极限”的反例教学9 定义 设在空心领域内有定义若，总，当时，有 成立，则称是在时的极限 反例（1）在处虽然无定义，但学生能够亲自体会在处无定义，但极限是存在的 反例（2）定义函数整理为word格式 尽管在处有定义，但时无极限在处有定义，但在处的极限与在处的函数值无关 反例（3）在函数极限定义中将改成，是否有呢？结论是不成立用反例加以说明：令,则，当时，总有 成立，但
