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1、20162017学年高三年级综合能力测试（CAT）（一） 文科数学（全国卷2）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）D （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D （7）C （8）B （9）B （10）A （11）D （12）B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13） （14） （15） （16）丙、甲、乙 三、解答题（共70分） （17）（本小题满分12分） 解:（）设的公差为，则，即 解得， 3分 所以的通项公式为 5分 （） 所以 10分 所以 12分（18）（本小题满分12分）解：（）点为中点，理由如下： 取中点，连接 因为分别是、的中点 所以
2、因为 四边形是正方形 所以 所以 所以 四点共面 所以 过三点的平面交于中点 4分 （）作法：连接交于点，理由如下： 因为 四边形是正方形 所以 又因为 ， 所以 平面， 又因为 ， 所以 平面 因为 平面 所以 因为 所以 平面 又因为 点面 所以 点是点在平面内的正投影 9分 因为 平面 所以 因为 所以 12分（19）（本小题满分12分）解：（）甲城市去年上半年的平均气温比乙城市低；乙城市去年上半年的月平均气温比甲城 市上半年的月平均气温波动大（答案不唯一）. 3分 （）甲城市上半年的平均气温为（）设“从甲城市的月平均气温中随机抽取一个数，此数大于该城市上半年的平均气温”为事件，基本事件
3、空间为，共有6个基本事件，事件包含17，17，18，22这4个基本事件，则 . 7分 （）设“从甲、乙两城市不低于16的月平均气温中随机抽取一个数，这两个数值相等” 为事件，基本事件空间为，共有个基本事件，事件包含这两个基本事件，则 .12分（20）（本小题满分12分）解：（）因为椭圆的离心率为，设焦距为，则，即. 所以 .所以 椭圆的方程可以化简为. 2分当圆的切线轴时，切线的方程为，代入椭圆的方程得.所以 . 解得.所以 椭圆的方程为. 4分（）证明：由（）知当切线轴时，则，或， 5分当切线与轴不垂直时，设的方程为则原点到直线 ：的距离 ，化简得 7分把直线的方程，代入椭圆的方程，得，易证
4、，且，。所以， ， ， ，则,且为中点，所以. 12分（21）（本小题满分12分）解：（）的定义域为. 当时，.所以 是区间上的单调增函数； 2分当时，若是区间上的单调函数，则当时， 恒成立.所以 ，得.因为 ，所以 .综上，实数的取值范围是. 5分 （）证明：当时，令，易知. 设的两根为，且.因为 ，所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 . 解得，或.又因为 ，所以 . 7分与随的变化情况如下： 所以 时，函数在区间存在最大值. 9分当时，.，令，得，.与随的变化情况如下： 因为 ， 所以 时，函数在区间内存在最大值. 综上可知，“”是“函数在区间内存在最值”的一个充分不必要条件. 12分 【选做题】（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（）因为，所以圆C1的极坐标方程为，圆C2的极坐标方程为. 5分（）所以圆C1与圆C2交点的坐标为 10分(注：极坐标系下点的表示不唯一)（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（）当时）当时，由 ）当时，由得： ）当时，由得： 综上可知，不等式的解集是. 6分 （） 所以 的单调递减区间是，单调递增区间是 所以 的最小值是 10分高三数学（理）试题答案 第 1 页 共 7 页
