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1、第二章点、直线、平面之间的位置关系21空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面含义如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一 些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。2、平面的画法及表示水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45Q且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相 对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）*点A在平面a内
2、，记作：Aea *点B在平面a夕卜，记作：B aB3、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。4、直线与直线之间的位置关系有如下三种关系：共面直线T相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。*等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5、直线与平面有三种位置关系：（1） 直线在平面内 有无数个公共点a匸a（2） 直线与平面相交 有且只有一个公共点ana =A（3） 直线在平面平行一一没有公共点aa6、平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行一一没有公共点 a B（2） 两个平面相交一一有且只有一条公共直线a np = L经典例题：例1、在正方体AC中，M,N分别是AA和BB的中点，求异面直线CM和DN所成的角？求异面直线AM和DN所成的角？例2.在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, E, F分别
4、为AB、CD的中点，EF=托，求AD、BC所成角的大小.例3 如图，在直三棱柱ABCABC中，ZBCA = 90, M、N分别是A”】和A& 的中点，若BC = CA = CC】，求NM与 AN所成的角.C巩固练习:一、选择题：1. 在正方体ABCDA1B1C1D中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、Cq的中点，直线MN与PQ所成的度数是（）（A）仔 （C）缈 （）餌2. 下列命题中，正确的命题是 （）（A）直线a、b异面，过空间任一点0,作0Aa,0Ba,贝IZAOB叫做异面直线a和b所成的角（B）如果ZCBA=ZBAD，那么 BCAD（C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直
5、线的公垂线（D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角3. 已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（）（A） 8（B） 15（C） 24（D） 304没有公共点的两条直线的位置关系是（）（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D ）不能确定5分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平行或异面或相交6. 两条异面直线指的是（）（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（C）分别位于两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平面内的两条直线第3页共3页7. a、b是异面直线，b、
6、c也是异面直线，那么a、c的位置是（）（A）异面（B）异面或平行（C）异面或相交（D）相交、平行或异8. 空间三条直线满足条件ab,a丄c,则b与c的位置关系是 （）（A）垂直 （B）平行 （C）相交 （D）异面9. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角 （）（A） 相等（B）相等或互补 （C）相交（D）无确定的关系10. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为 （）（A）（B）（C）（D）-:二、填空题：1. 正方体ABCDA1B1C1D勺棱长为1,则BD1与Cq所成角的正切值为，BD1与Cq的距离为.2长方体A
7、BCDAiBiCiDi中，AB=BC=2a，AAi = a，M、N分别是人耳、3 31的中点，则A与MN所成角的余弦 值是.3. 已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是孔的直线有且仅有条.4、在空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, E，F分别为AB、CD的中点，EF=乙，求AD、BC所成角的大小。三、解答题1.四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA=SB = SC，且乙ASB=乙BSC=乙CSA=匹,M、N分别是AB和SC2S的中点.求异
8、面直线SM与BN所成的角的余弦值.3 .A1B1C1ABC是直三棱柱，ZBCA=90，点D、片 分别是A”、A的中点若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值.4、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为AQ和BB的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值。1（4题）5.四面体ABCD中，AC丄BD,且AC=4, BD = 3, M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值.BA6如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点 求MN与CC1所成角的 余弦值。12.2直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定定理
9、：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，贝U该直线与此平面平行。线线平行，则线面平行。符号表示：a,b u a,且a b n a a .例1、如图是正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：BC】平面AB.DrAB2、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示: 内 交 平行平面B A D平面BC D1 1 1a u P, b u PaHb = P/Pa/a,b /a3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行,线面平行则线线平行.a a 符号表示：一 a u P n a ba H
10、 P = b例3、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面a过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH#FG.4、两个平面平行的性质定理定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：a B=a A Y = a * abB ay = b 典型例题:注意：证明线面平行的方法可分为三类：直接法，找中点 （平行四边形的对角线互相平分）。题型一：直接法1、如图是正方体ABCD-ABCD，求证：Bq平面ABrDr（或作中点）通过连接平行四边形的对角线，找中点D题型二：找中点（或作中点）12、如图是四棱锥，已知BCAD且BC 2 AD，E为中点,求证：CE平面
11、PAB题型三：通过连接平行四边形的对角线，找中点3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,F为PC的中点，求证：PA平面FBD.巩固练习一、选择题1. 过平面a外的直线1,作一组平面与a相交，如果所得的交线为a, b , c，则这些交线的位置关系为（）A. 都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或都交于同一点2. a , b是两条异面直线，A是不在a , b上的点，则下列结论成立的是（）A. 过A且平行于a和b的平面可能不存在B. 过A有且只有一个平面平行于a和bC. 过A至少有一个平面平行于a和bD. 过A有无数个平面平行于a和b3. 若直线1 平
12、面a，直线a Ua，贝I1与a的位置关系是A、1 ab、1与a异面c、1与a相交D、1与a没有公共点4. 下列命题正确的是（）A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面5. 若直线l与平面a的一条平行线平行，则l和a的位置关系是（）A 1 uaB 1 /aC 1 u a或 1 /aD 1和a相交6. 若直线a在平面a内，直线a,b是异面直线，则直线b和a平面的位置关系是（）A.相交B。平行C。相交或平行
13、D。相交且垂直7. 下列各命题：（1）经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；（2）若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；（3）空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。其中假命题的个数为（）A 0B 1C 2D 38. E、F、G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱的条数是A. 0B 1C 2D39. 直线与平面平行的充要条件是A.直线与平面内的一条直线平行B。直线与平面内的两条直线不相交C.直线与平面内的任一直线都不相交D。直线与平行内的无数条直线平行10. 若直线上有两点P、Q到平面a
14、的距离相等，则直线l与平面a的位置关系是（）A平行B相交C平行或相交D或平行、或相交、或在内11. a,b为两异面直线，下列结论正确的是（）A过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行B过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交C过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行D过a可以并且只可以作一个平面与b平行二、填空题1. 过直线外一点和这条直线平行的平面有个。2. 直线a/b, a/平面a，则b与平面a的位置关系是。3. A是两异面直线a,b外一点，过A最多可作个平面同时与a,b平行。4. A、B两点到平面a的距离分别是3、5, M是的AB中点，则M到平面a的距离是 5、若空间四边形ABCD的两条对角线AC , BD的长分别是8, 12,过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为6.在空间四边形ABCD中，E , F , G , H分别为AB , BC , CD , DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC/ 平面 EFGH , BD/ 平面 EFGH , AC = m , BD = n，则 AE： BE =.三、证明题
