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1、高中数学分类解题方法精编递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列)，求通项公式。参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为，由初始条件可知，解之得，所以。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征
2、方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：
3、若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设 ，令，即，当时可得，知数列是以为公比的等比数列，将代入并整理，得.将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？仿上，我们来探求数列的特征：不妨设，则, 令（1） 若方程组有两组不同的实数解,则,即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,由上两式消去可得.（2） 若方程组有两组相等的解，易证此时，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以（限于学生知识水平，若方程组有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组消去即得，显然、就
4、是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为其特征方程为，1、 若方程有两相异根、，则；2、 若方程有两等根，则.其中、可由初始条件确定。这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列（），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数，则令，即 记此方程的两根为，（1） 若，将分别代入式可得以上两式相除得，于是得到为等比数列，其公比为，数列的通项可由求得；（2）若，将代入式可得,考虑到上式结构特点，两边取
5、倒数得由于时方程的两根满足，于是式可变形为为等差数列，其公差为，数列的通项可由求得这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列（），其特征方程为，即，1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征
6、方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。三、应用举例例1、 已知数列且，求通项公式。解 设， 令 可得于是，即是以为首项、为公差的等差数列，从而.例2、设数列满足. 解： 对等式两端同加参数得令，解之得，代入上式得两式相除得即的等比数列，四、收获与反思 随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根
7、据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。高考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。，但与不等价。【例1】已知f(x) = ax + ，若求的范围。错误解法由条件得22得+得错误分析采用这种解法，忽视了
8、这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有, 解得：把和的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】(1)设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正
9、确答案。原方程有两个实根，当时，的最小值是8；当时，的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。错解由已知得 y2=4x216x12，因此 x2+y2=3x216x12=3(x+)2+，当x=时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(,。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+ =1(x+2)2=113x1，从而当x=1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是1,。注意有界性：偶次方x20，三角函数1sinx1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的
10、条件，导致结果错误。【例3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2=得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)
11、，(a + )2 + (b + )2的最小值是。不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列的前项和，求错误解法错误分析显然，当时，。错误原因：没有注意公式成立的条件是。因此在运用时，必须检验时的情形。即：。(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法将圆与抛物线联立，消去，得因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得，解之得错误分析（如图221；222）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyO图222xyO图221要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思考题：实数为何
12、值时，圆与抛物线，有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法，。错误分析在错解中，由，时，应有。在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意,即因为，所以所以解得说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
13、(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思
14、维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：章节易错训练题1、已知集合M = 直线 ，N = 圆 ，则MN中元素个数是 A(集合元素的确定性)(A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2(D) 0或1或22、已知A = ，若AR* = F，则实数t集合T = _。(空集)3、如果kx2+2kx(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A) 1k0 (B) 1k0 (C) 1k0 (D) 1k04、命题3，命题0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是C(等号)（A）（B）（C）（D）5、若不等式x2logax0在(0, )内恒成立，则实数的取值范围是A(等号)(A) ,1) (B) (1, + )(C) (,1)(D) (,1)(1,2)6、若不等式(1)na 2 +对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号)(A) 2，)(B)(2，)(C) 3，)(D) (3，)7
