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1、高考复合数列问题的类型及解题方法和技巧数列问题以其多变的形式和灵活的解题方法倍受高考、会考和模拟考试命题者的青睐，历年来都是高考命题的“热点”。对应试考生来说,数列既是重点,又是难点。近年来,高考中数列问题已逐步转向多元化，命题中含有复合数列形式的屡见不鲜，从而，这类问题成为学生应试的新难点。本文试图从各地的一些模拟试题中精选部分典型题进行分类解析、探索出这类问题的求解方法和技巧。1、通项探求型该类题型一般转化为等差、等比数列或常见的简单的递推数列来实现求解，求解过程直接化，求解技巧模式化。例1正项数列a的前n项和为nS，且n=a+1,试求：n(1)数列an的通项公式；(2)设b=，数列n解：
2、(1)由已知得则b的前n项和为n4S=(a+1)2,nn4S=(a+1)2,B,求证：nn-1n-14(S-S)=(a+1)2-(a+1)2,nn-1nn-14a=+2a-a-2annn-1(a+a)(a-a-2)=0nn-1nn-1数列an为正项数列，a+a#0,从而nn-1an是公差为a-a=2,nn-12的等差数列=a1+1,0a1=1,a=2n-1。n1(2)b=anan+1n纭+1_g2anan+l=2、大小比较型比较两个数列的大小关系型问题，一般利用比差法和比商法来达到目的，借助于数的正负性质来判断，从而获解。例2设数列an是等差数列，数列%是等比数列，ai=biDan+1与b的大
3、小。n+1解：设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,依题意有咕+1=01+2心汽2叩0，Dan+1-bn+1=ai+nd-biqna2ti+l一迎=&+-土a120,Dab。n+1n+13、两个数列的子数列性质型探索两个数列公共项的有关性质，公共项构成的数列是两个数列的子数列，所以，抓住它们的通项是解题的关键。例3设数列aj是首项为2，公比为2的等比数列，数列bn是首项为5，公差为3的等差数列，由这两个数列中相同项依次组成一个新数列解：由已知数列相同，则有a中，n2k=3m+2,0Dcn，求数列bn中,bn=3n+2,又C=a3=b2=8。设的所有项的和。a不是b中的项，而k+1nak+2
4、是bn中的项。那么弧+2aka=2n,数列nak+i=2k+i=22k=2(3m+2)=3(2m+l)+l,a2=2k+2=42k=4(3m+2)=3(4m+2)+2,k+2a与a数列c中相邻的项。kk+2na=2k与k=3m+2m数列c是以n=48为首项，公比为4的等比数列。所以数列的所有项的和是4、存在性探索型该类问题一般是先设后证，然后反推探索，若满足题设则存在，若不合题意或矛盾，则不存在，它是探索性命题中的一种极为典型的命题形式。例4是否存在a、b、c使得a=an2+bn+c满足na=l,3S=(n+2)a对一切自然数1nn1n都成立(其中S=a+0,+.+a),试证明你的结论，若n1
5、2n解皿3S=(n+2)a,D3S,=(n+1)aCDnnn-1n-1n+1n_1，立得：binb11，求心“(b1+b2+.+b)n12n3(S-S)=(n+2)a-(n+1)a，D(n-1)a=(n+1)a，nn-1nn-1nn-1轴-1()严)琥n+l)&琥n+1)靭a3a3八za2n+1OU)()=n_1anal,Da1=1,b=n=2$-顽lim厂(b+b2+b)=212n5、参数范围型在复合数列问题中再引入参数,难度更大,这类问题主要是建立目标函数或目标不等式,转化为求函数量值和求解不等式。例5已知探索参数的取值范围对考生来说是一个难点，aD0,且a*l,00aj是首项为a,公比也
6、为b的前n项和S；nna的取值范围。a=aan-1=an,n(1)求数列小于它后面的项,求解：(1)由题设Dbn=anlgan=nanlga,(2)当aDlim1时，求a的等比数列，Sn(%)；(3)000令bn=anlgan(nDN)。bj中的每一项总Sn=alga+2a2lga+.+nanlga=a(1+2a+3a2+.+nan-1)lga将式两边同乘以a,得aSn=a(a+2a2+3a3+.+nan)lga-并注意到aD0,且al,得1-0a(1a)-nan)=lga,(1-a)Sn=a(1+a+a2+.+an-1-nan)lga=只需解al-(l+n-na)anDS=alg2nSnal
7、-(l+n-na)an(2川石=alg百PTSn(石lim当aD1时，宀(3)令bk+1Dbk(kDN),则k(a-1)+algaD0)=bk+1-bk=(k+1)ak+1Lga-kaklga=akk(a-1)+algaD0。其中akD0，当aD1时lgaD0，由k(a-1)+aD0解得kD当0DaD1时lgaD0,由k(a-l)+aU0解得kD；为使不等式对任意自然数并注意到aD0,得aD1或0Dk都成立,只需aD弓。小于k的最小值1，解不等式D1，练习：1、已知数列anan=1b1+2b2+3b3+.+n0口N)对一切自然数中，a=n(n+1)2，是否存在等差数列b，使nnn都成立？证明你
8、的结论。(2)2、设an是正项的等比数列，项a。nbn=lOg2an，若bl+b2+b3=3,bib2b3=-3,求此等比数列的通3、已知函数f(x)=x-2伍+2(x2)。(1)00f(x)的反函数f-1(x),并指出其定义域；若数列an(a0)的前n项和SnUN)对所有大于甯+1+峭0aj的通项公式；(3)令入=$纭+血(nDN),01的自然数n都有S=f-1(S)，且nn-1lain(C1+C2+C3+-+Cn-n)a1=2，4、已知数列bj是等差数列，列a的通项a=log(1+咗)(其中nn亍logb的大小，并证明你的结论。an+15、已知数列aj满足条件：设b=a+a(n=l,2,.)。n2n-12nb1=1,b+b2+.+b10=145。(1)000bj的通项aD0,且al),记S是数列na的前n项和。试比较na1=1,a2=r(rD0),0anan+1是公比为求出使不等式咕+1+酩宀+an+2an+3血N)成立的q的取值范围;1(2) 0bn和)，其中(3) 设r=219.2-1,q=,000S=b+b+.+b；n12n咤2%+lI叱|的最大项和最小项的值。b；设数nq(qD0)的等比数列,
