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1、习题2.51 .求解下列方程的解(1) ysinx+曳cosx=1dx解：移项得，cosx=1-ysinxdx两边同除cosx得曳=sn3y+dxcosxcosx1d(cosx)1d(cosx)cosx/1-cosx肝以，y=e(edx+c)cosxy=cosx(dx+c)cosx12y=cosx(isecxdx+c)y=cosx(tanx+c)所以y=sinx+cosxc为方程的通解(2)ydx-xdy=x2ydy2ydx-xdy解：两边同除x得，2=ydyx2贝Ud(-)=d(-y-)x22所以，y,=c为方程的通解。2x(3)=4eysinx-1xdy解：两边同乘以6，得，eydx=4s
2、inx-eyd(ay)所以d=4sinx-eydx令u=ey得，=4sinx-udx4dxdxu=e(4sinxedx+c)u=e-x(,4sinxexdx+c)又因为4 sin xex dx=4 sin xdexxxx_xx=4sinxe-4edsinx=4sinxe-4cosxedx=4sinxe-4fcosxdex=4sinxex-4excosx+4Jexd(cosx)=4sinxex-4excosx-4Jsinxexdx所以f4sinxexdx=2exsinx-2excosx(分步积分法)即ey=e-x(2exsinx-2excosx+c)所以ey=2(sinx-cosx)+ce-x为
3、方程的通解。解：分子分母同除x 包+u=dx令u=，则y=ux,由此dy=xdu+u，代入原方程得,xdxdx化简得,duuux=-dx1-,u当uVuw。时，1_u-du=dxuux111.)du=dxu、uux-2:u-lnu=Inx+c1-2.u=lnx+lnu+g一1ln y +c, 2rr1.2即 x=y ( ln y +c) 2经验证，y=0也是方程的解。 xxx/1+2一二(一二lny+c)y2(xyey+y2)dx-x2eydy=0解：原方程可写为x,2ydxxedy一：2xyey(Wyxy(分子分母同除y2)xye1y令u=x,所以yx=uy,对y求导得,dxdu二y-udy
4、dydu即y-udy2uueueu1dudyueu1x1y将上述分离变量，可得,ueu1,1u,1.1.du=dy,即-edu-dudy两边积分得，-eu-ln=lny|+c,c为任意常数整理得，inuy|-.-eu(6)(xy+1)ydx-xdy=0xc即inx+ey=c为方程的通解。解：由题意可知，型=2xy+1,型=12yex；:MN一二yx2dy1所以，y以=-(yw0),从而求得方程的积分因子？=e-=2一Myy两边同乘以积分因子得，a-dx-22dy=0yy化简彳导,xdx+1dxxdy=0,即d(1x2)+ydx2xdy=0yy2yd(1x2)+d(x)=0,所以二十)=c为方程
5、的通解。2y2y经验证，y=0也为方程的解。(7)(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0dy-2x-2y1-2(xy)1解：原万程可化为=dxxy_2xy2此时，亘=包=乂，则令u=x+y,所以四=1十电a2b2dxdx即曳=1+二2叱！，Ijzuduudxdxu-2u12udu-du=dx1u1u- du1 u31du = dx1 u du1 u两边积分得,1一 du du = dx1 uln(1+u) 2-u+ln，1+u=x+cln(1+u) 3=x+u+c1 即(1+u) 3=exeue c1 令 ec1 =c得，(1+u) 3=cex+u所以方程的通解为(x+y+1) 3=c
6、e (2x+y)(8)dy = y y2dx x x3-dy112斛：=y+3y(伯努利方程)dxxx两边乘以y(2)(yW0)得，y(出=y()+J3dxxx令z=y,从而，=_y(J2)则此伯努利方程可化为dxdx=-(一阶非齐次线性微分方程)dxxx|.1dx1|1dx利用公式可得，z=ex(-exdxc)3x1,1,z=(一-2dxc)xx1c一11c、一“一z=2+,所以12+c为方程的通解。xxyxx经验证，y=0也为方程的解。(9)dy=3y+x-2dx解：由题意可知，此方程为一阶非齐次线性微分方程。3dx-3dx所以利用公式可得，y=e(x-2)edxc)y=e3x(x-2)e
7、(x)dxc)y=e3x(xe(-x)dx2e(-x)dx+c)(利用分步积分法求Jxe(-x)dx的原函数)y=e3x(-1xe(x)-1e(Jx)2e(Jx)c)39315所以y=-xce为原方程的通解。39(10)xdy=1+(dy)2dxdx解：令p=dy，贝Uxp=1+(p)2即x=p+dxpdxdp1dp-11dp上可得_=(1_二)Hdydypdyppdy1、所以，dy=(p)dp1 2y=-p2-lnp+c2，1x=+p(p=0)即方程的通解为p1 2.IIy=p_lnp+c，、dyx-y1(11)工二dxxy3解：方程可化为(x-y+1)dx=(x+y2+3)dy.:M；:N
8、,=-1=故该方程为恰当微分方程，有;Y：xxdx-ydx+dx-xdy-y2dy-3dy=0(x+1)dx-(y2+3)dy-ydx-xdy=01 213d(xx)-d(y3y)-d(xy)=02 31 213所以x+xy3yxy=0为方程的通解。2 3(12) eT(dy+1)=xexdx解：方程两边同乘以ey得，dyxy口1=xedxdu,dy令u=x+y,可得=1+dxdx即电=xeu(eu0),利用变量分离得，eUdu=xdxdx1两边同时积分得，-eu=1x2+ci2所以exm+lx2=c为方程的通解。2(13) (x2+y2)dx-2xydy=0解：由题意可知，M=2y,N=2y
9、；:y；xMNyx2dxy=-2,从而求得方程的一个积分因子为ex2-, y , 2y ,dx+ dx - - dyx x二0Nx方程两边同时乘以积分因子得,2dxd(-)=0x所以，x2-y2=xc为方程的通解。(14) dy=x+y+1dx解：由题意可知，该方程为一阶非齐次线性微分方程。dx_dx利用公式可得，y=e(x1)edxc)y=ex(x+1)edx+c)(利用分步积分法求Jxedx得积分)xx-x.xy=e(-xe-e-ec)y=-x-2+exc所以x+y+2=exc为方程的通解。y(15) dy=e，+卫dxx解：令u=,贝Uy=ux,dy=xdu+uxdxdx所以，xduu=
10、euudx1edu=dx,两边同时积分得，-e=lnx+c1xy所以ex+lnx=c为方程的通解。(16) (x+1)dy+1=2e，dx解：两边同时乘以ey得,ey(x+1)dy+ey=2dx人yduc令u=e,则有(x+1)+u=2dx1 ,1zdu二dx2 -u1x-In2u=ln1+xln2-ey+2xxey也=02-ey2x-xeyc,=1所以(x+1)ey=2x+c为方程的通解。(17)(x-y2)dx+y(1+x)dy=0解:由题意可知,.:M-：N=-2y,二y.y二x.:M；:N:v33.-y=-,从而求得方程的一个积分因子为N1x1一3(1x)2两边同时乘以积分因子得，一J
11、dx-y.dx-Jdy=0(1x)3(1x)3(1x)211y两边同时积分得，d(1-)d(一y-)=02(1x)21x2(1x)2rr1y2122即_=g,经化间得，y=2x+1+2c1(1+x)2(1x2)1x所以y2=c(1+x)2+2x+1为方程的通解。(18)4x2y2dx+2(x3y-1)dy=0一-：M2：:N2解：由题忌可知，=8xy,=6xy：:y二xFM：:N二y：x1:-dy-=-,从而求得方程的一个积分因子为e2y=-M2y1311两边同时乘以ysin1 即 y=,贝U dy = -2- d 得,4x2y2dx(2xcos -cos -1 sin _ d/sin - c
12、os2 -cos2 -x=tan 0 +c, c为任意常数1y-os9即y2 =(x+c)2 +1y2-2y2)dy=0311即4x2y2dx2x3y2dy=2y”dy431两边同时积分得，d(x = tan - cx3y2)二d(4/)所以4x3331经化简，x3y亍=3y2+c为方程的通解。(19)x(曳)2-2y(dy)+4x=0dxdx解：令p,则xp2-2yp+4x=0dx即 y = 2x + Px,所以 dyp 2dx马生x 2上如x p dx p 22 dx经化简得,11 .dp dx px一 p 一In p = In x + g经化间可得一 =c即p = cx x2，2又因为 x=E=%(4 + p20),所以 y=tL=3_q c 4 p2c 2c当4 + p2 = 0时，p = 2可知y = 2x也为方程的解所以2cy =4 +c2x2; y = 2x为方程的通解。因为dx =sin -两边同时积分得,则方程的解为解：令dy=sin9,则方程化为，y2(1-sin28)=1dx经验证，当sin0=0,白yy=1也是方程的解。xx-77x)(1+ey)dx+ey(1-)dy=0yx解：经化简可得,dxdye?(-1)_y-x1eydxdv=V.ydydydv v y - dyev(v-1)1e
