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1、第2节单位根检验由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解 决的问题。在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一 章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。单位根 检验有很多方法，这里主要介绍 DF 和 ADF 检验。序列均值为0则无C,序列无时间趋势则无trend 在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。1、四种典型的非平稳随机过程( 1)随机游走过程。yt=yt.i+ut，y。= 0，ut -IID(0,a 2)y=y(-1)+u105-522002000180016001400-10 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1
2、I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I204060 80 100 120 140 160 180 200其均值为零，方差无限大( ?)，但不含有确定性时间趋势。(见图 1a)。01200 50 100 150 200 250 300 图 1b 深证成指图 1a 由 yt = yt-1+ ut 生成的序列(2)随机趋势过程。yt = a+yt-1 + 叫,y0 = 0, u厂 HD(0, a 2)其中o称作位移项(漂移项)。由上式知，E(y1)= a (过程初始值的期望)。将上式作如下迭代变换，刀=a+yt-i+ut = a+(a+
3、 yt-2+ut-i)+ut =at+ ui-1yt由确定性时间趋势项少和y0 + Xu,组成。可以把y0 +工u看作随机i-1i-1的截距项。在不存在任何冲击ut的情况下，截距项为y0。而每个冲 击ut都表现为截距的移动。每个冲击叫对截距项的影响都是持久的, 导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为 随机趋势过程 ( stochastic trend process )， 或 有 漂 移 项 的 非 平 稳 过 程(non-stationary process with drift)，见图 2,虽然总趋势不变，但 随机游走过程围绕趋势项上下游动。由上式还可以看出，a是确定性 时间趋势项
4、的系数(原序列yt的增长速度)。a为正时，趋势向上；a 为负时,趋势向下。80604020050 100 150 200 250 300 350 400200-20-40-60-80-100100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000图 2a 由 yt =0.1+ yt-1+ ut 生成的序列图 2b 由 yt =- 0.1+ yt-1+ ut 生成的序列因为对yt作一次差分后，序列就平稳了，A yt = yt - yt-1 = a + ut (平稳过程)所以也称yt为差分平稳过程(difference- stationary process)。a是A yt
5、 序列的均值，原序列yt的增长速度。( 3)趋势平稳过程yt =卩0 + P1 t + ut, ut = put-1 + vt, (p 1, vt IID(0,6)yt与趋势值P0+P1t不同，差值为叫。因为ut是平稳的，yt只会 暂时背离趋势。y曲的长期预测值将趋近于趋势线(t+k)。所以称 其为趋势平稳过程(trend stationary process)。趋势平稳过程由确定 性时间趋势卩所主导。趋势平稳过程见图3,属于非平稳过程。趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳 过程，刀却=P0+ ut。yt = P0 +片t + ut不必通过差分变为平稳过程。因为趋势平稳过程
6、 的差分过程是过度差分过程。纽=片+ ut - ut-1。移动平均特征方程中 含有单位根。50_40_3020_10_-10 -50100150200250300350400图 3 yt = 0.05+0.1 t + AR(1), p=08 生成的序列4)趋势非平稳过程yt = %+ a t + yt-1 + 叫,y0 = 0, ut IID(0, a 2)其中称作位移项(漂移项)，a t称为趋势项。上式是含有随机趋 势和确定性趋势的混合随机过程(见图 4)。D图 4 yt = 0.01+ 0.01t + yt-1+ ut, ut I(0, o 2)生成的序列对上式进行迭代运算(设定 y0=0
7、)yt = A + a t + yt-i + ut = p. + a t + 卩 + a (t-1) + yt-2 + ut-i + ut.=y0 + p t + (a t) t- a(1+2 + t) + 工弘ii=1=y0 + p t + a 12 -巴(1+1) t + 工 u = (P - -) t + 巴12+ u ,0222, ii =1i =1趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。趋势项中 包括 t 的 1 次和 2 次项。这种过程在经济问题中非常少见。F面分析随机趋势过程与平稳的AR过程的区别。对于如下过程:耳=%+认+叫当 = 1时，yt是一个随机趋势过程；当I
8、%1| 1时，yt是一个均值为一的平稳过程。1 -%1随机趋势过程yt = 0.1 + yt-1 + ut和带有漂移项的平稳过程yt = 4 +0.6 yt-1 + ut的比较见下图。差别在于随机趋势过程的自回归系数为 1，带有漂移项的平稳过程的自回归系数绝对值小于1。图 5 随机趋势过程和带有漂移项的平稳过程的比较2、DF 分布1)DF 统计量的分布特征三个简单的自回归模型：y = 0 y +u , y0 = 0,叫 IID(0, b 2)y = P + 0 y +u，y0 = 0，ut tt1 ty = p + at + 0 y +u，y0 = 0， ut tt 1 t 0 t13.1)1
9、3.2)13.3)其中p是漂移项，a t是趋势项。当真值101 1时，yt是平稳的, 当|卩| = 1时，yt是非平稳的。现在以(13.1)式为例，讨论6的分布特征如何。若卩=0，统计量t(0)=JL t(T-1)，其极限分布为标准正态分布。 s( 0)若|卩| 1,统计量t( 0)= S 渐近服从标准正态分布。s( 0)当丨卩| = 1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化(方差为零)。定义DF统计量为：DF =归1)s(B)(2) DF 统计量的分布特征与百分位数表取样本容量T =100,分别用(133)、(132)和(131)各模拟 10000次得到的DF的分布见图11。红、绿、黑色直方图
10、分别代表对 应式子DF统计量的分布。随着确定项的增加，分布越来越向左移。 黑色DF分布近似于t分布，但整体向左大约移动了 1.6个单位。图11DF统计量分布的蒙特卡罗模拟Full (1976)用蒙特卡罗模拟方法得到DF统计量的百分位数表， 见附表5。(3)进一步讨论以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，还应该进一 步讨论在AR(p)模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用 统计量的分布特征。(i)对于AR(p)过程丁,“必1+0必2+ 炊t-p+ 叫(13.4)当yt中含有单位根时，可以通过如下模型研究P = 1条件下，检验用 统计量DF的分布特征。yt=t-1+灯甘心 + 叫(1
11、3.5)j t -jj=1其中 卩=才 ， $* = - , j = 1, 2,，p 1oiii=1i = j+1电为（134）式中的自回归系数。为什么可以通过（13.5）式进行研 i究呢？看一个例子。yt =1 yt-1 +2 yt-2 +3 yt-3 +ut 上式右侧同时加减 2 yt-1， 3 yt-1， 3 yt-2 然后合并同类项，yt =1 yt-1 +2 yt-1 +3 yt-1 -2 yt-1 + 2 yt-2 - 3 yt-1 -3 yt-2+ 3 yt-2 + 3 yt-3 +ut=（1 + 2+%）yt-i - 2A yt-i - 3A yt-i - 3A 耳-2+u=（
12、i + 2+%）yt-i -（2+%）A yt-i - 3A yt-2+叫=卩 yt-i - i*A yt-i - 2*A yt-2+叫=卩 yt-i - *Ay + utj tjj=1其中卩=工，ii=1j* = - , j = i, 2 oii = j +1（i35）式中p的DF统计量的分布与yt = pyt-i +笃中p的DF统计 量的分布近似相同。（i35）式中的差分项Aytj, j = i,2,p - i之 所以不会对DF统计量的分布产生影响是因为当yt I（i），贝卩全部的 A ytj I（0） o yt与A y幻的交叉积渐进被忽略，从而使两式中p的DF 统计量的分布渐近相同。当模
13、型（i34）中含有位移项卩和趋势项a t时，相应于p的DF统 计量的分布分别与模型（i32）和（i33）的DF统计量的分布渐近相同(ii)现在进一步放宽对yt的限制。考虑如下AR(1)过程yt=yt-i+ut(136)其中允许yt是一个ARMA(p, ?),随机项ut是一个MA(q)过程(即 误差项 ut 中的自相关)，甚至参数 p, q 的值也可未知。则可以用下 式研究卩和DF统计量的分布。y= b yt-i+ 土 泸 yt-i+ v(13-7)i=1若卩=1，上式是一个差分的AR(it)过程。加入级滞后项的目的是 捕捉(13.6)式误差项勺中的自相关。(叫的自相关项对于模型(13.6) 来
14、说是移动平均项，所以勾滞后项的加入可以捕捉之。)因为可逆的 移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，从而使v近似为 t 一个白噪声过程。Said-Dickey (1984)证明(13.7)式中卩的DF统计量的分布与(13.6)式中 b 的 DF 统计量的分布类似。当 (13.7)式中加入位移项 g和趋势项a t时，卩的DF分布类似。3、单位根检验对于时间序列yt可用如下自回归模型检验单位根。yt = b yt-1 +ut，零假设和备择假设分别是：H0：卩=1，( yt非平稳)H1：卩 1，( yt 平稳)0 1在零假设成立条件下，用DF统计量进行单位根检验。DF = 4 s( B)其中 s(U) = U 2T -1 trt=2若用样本计算的DF 临界值，贝y接受H0，yt非平稳；DFW临界值，贝y拒绝H0, yt是平稳的。图12单位根检验示意图(1) 因为用DF统计量作单位根检验，所以此检验称作DF检 验(由 Dickey-Fuller 提出)。(2) DF检验采用的是OLS估计。(3) DF检验是左单端检验。因为卩 1意味着强非平稳，卩 1 意味着平稳。当接受P 1,拒绝卩=1时，自然也应拒绝卩 1。上述DF检验还可用另一种形式表达。y =卩几+ ut式两侧同减 幵-1,得A yt=（卩-1） yt-1+u，令p = p - 1代入上式得A y
